[带自己学/复习算法] 4.博弈论之SG函数

先手必胜态$(N:nowwin)$和先手必败态$(P:previouswin)$是博弈论中很重要的概念。

我们可以通过状态间的转移来进行推理当前状态究竟是$N$还是$P$，以一个简单的Bash博弈例子为例：

有一堆石子数量为$n$，每次可以取$1-m$个石子，双方轮流取，直到不能取者输，那么问你是否当前先手必胜？

这个问题的经典做法是从最终结果反推，我们记$(number,status)$为当前有$number$个石子，先手处于$N/P$状态。我们从状态$(0,P)$开始反推，可以知道$(1)$到$(m)$一定是状态N，即$(1,N),...,(m,N)$，而$(m+1)$一定是状态$P$，因为在该状态下，无论怎么取，下一步到达的一定是状态$N$，即另一方先手必赢。

于是参考这个思路，我们可以看出当前数量为$n$时，我们只需要查看($n-1$),($n-2$),…,($n-m$)的状态是否都是状态先手必赢($N$)即可，若全是则当前一定为必输状态$P$；否则，则说明一定存在一个下一步状态为必输($P$)，那么我们只需要选择这种转移方式，即可让对面面临一个先手必输($P$)的局势。

而$SG$函数的定义，就是$SG(x)=SG(SG(y_1),SG(y_2),...,SG(y_k))$，其中$y_i$代表$x$做一步操作后能转移到的状态。

$SG$函数的特点时，$SG(x)=0$时先手必败。

class Game{

private:
    vector<int>cando;//cando数组为当前能做的所有操作，即每次可以取cando[i]个
    vector<int>SG;
    int n_;
public:
    Game(vector<int>cando_, int n){
        cando = cando_;
        SG = vector<int>(n, -1);
    }
    int getSG(int x){ // 记忆化搜索SG的值
        if(SG[x] != -1)return SG[x];
        vector<bool>vis(n_ + 1, false);
        for(int i = 0; i < vis.size();i++)vis[i] = false;
        for(int v : cando){
            if(x - v >=0)vis[getSG(x - v)] = true;
        }
        for(int i = 0; ; i++){
            if(!vis[i])return SG[x] = i;
        }
    }
    bool nowwin(int x){
        return getSG(x) != 0; // SG值为0则先手必败，否则先手必胜
    }
};