证明范式关系的逻辑推导：从3NF到2NF及BCNF之间的包含性分析

证明范式关系的逻辑推导：从3NF到2NF及BCNF之间的包含性分析

文章目录

• • • 证明：若关系模式 R 满足第三范式（3NF），则它也一定满足第二范式（2NF）
    • • 定义回顾：
      • 要证结论：
      • 证明过程：
      • 补充说明：
    • 证明：若关系模式 R 满足BCNF，则它一定满足3NF
    • • 定义回顾：
      • 要证结论：
      • 证明过程：
      • 补充说明：
    • 相关知识点
    • • 非主属性
      • 超键（Super Key）
      • 候选键（Candidate Key）
      • 主键（Primary Key）
      • 区别总结
      • 外键（Foreign Key）

证明：若关系模式 R 满足第三范式（3NF），则它也一定满足第二范式（2NF）

定义回顾：

1. 第二范式（2NF）：

   • 关系 R 满足 2NF 的条件是：

     • R 满足第一范式（1NF），即每个属性的值都是不可再分的基本单元。
     • R 的所有非主属性 完全函数依赖 于任意候选键（即不存在部分依赖）。

2. 第三范式（3NF）：

   • 关系 R 满足 3NF 的条件是：

     • R 满足 2NF。

     • R 的所有非主属性对任意候选键都不存在传递函数依赖，或者非主属性是某个候选键的一部分。

要证结论：

若 R 满足 3NF，则必定满足 2NF。

证明过程：

1. 假设 R 满足 3NF，但不满足 2NF：

   • R 满足 3NF，因此：

     • R 中的每个非主属性 A 对任意候选键 K 都满足以下至少一个条件：

       1. A 是完全函数依赖于 K；

       2. A 是部分函数依赖于 K 且 A 是某个候选键的一部分；

       3. A 是传递函数依赖于 K 且 A 是某个候选键的一部分。

   • 假设 R 不满足 2NF，则存在至少一个非主属性 A，它对候选键 K 存在部分函数依赖，即 A⊆K₁，其中 K₁ 是 K 的一个真子集。

   • 部分函数依赖的存在违反了 2NF 的定义。

2. 分析矛盾：

   • 根据 3NF 的定义：
     • 如果 A 对 K 存在部分函数依赖，但 A 是候选键的一部分，这满足 3NF 的条件，不影响 2NF；
     • 如果 A 是传递函数依赖，这种情况必然在候选键的某部分上依赖完全，或属于主属性本身，仍然不会违反 2NF。
   • 如果 A 对 K 存在部分函数依赖，而 A 既不是候选键的一部分，也不存在传递依赖，这种情况会违背 3NF 定义，导致假设矛盾。

3. 结论：

   • 假设 R 满足 3NF，但不满足 2NF，会导致逻辑矛盾。
   • 因此，R 若满足 3NF，则必定满足 2NF。

补充说明：

从代数角度，3NF 的条件包含了 2NF 的所有要求，并对非主属性的传递依赖提出了更严格的限制，因此 3NF 自然包含了 2NF 的要求。

证明：若关系模式 R 满足BCNF，则它一定满足3NF

定义回顾：

1. 第三范式（3NF）：

   • 关系 R 满足 3NF 的条件是：

     • R 满足 2NF。

     • R的所有非主属性 A对任意候选键 K的依赖满足以下至少一个条件：

       1. A 是完全函数依赖于 K。

       2. A 是某个候选键的一部分（即 A 是主属性）。

2. Boyce-Codd范式（BCNF）：

   • 关系 R 满足 BCNF 的条件是：

     • 对于 R 中的所有函数依赖 X → A，X 必须是超键。

   • 超键是可以唯一标识关系中每一元组的属性集合。

要证结论：

若关系模式 R 满足 BCNF，则它也一定满足 3NF。

证明过程：

1. 假设 R 满足 BCNF：

   1. 根据 BCNF 的定义，对于 R 中的任意函数依赖 X→A，都满足 X 是一个超键。

   2. 超键的定义是一个属性集合，可以唯一标识关系中的每一元组。

   3. 这意味着 X→A 不可能引起部分依赖或传递依赖：

      • 部分依赖：X→A 中 X 是超键，因此 A 不可能仅依赖于 X 的一部分。

      • 传递依赖：由于 X 是超键，A 不可能通过其他属性间接依赖于候选键。

2. 验证 3NF 的定义：

   • 根据 3NF 的要求，对于任意函数依赖 X→A ，要么 X 是超键，要么 A 是主属性。
   • R 满足 BCNF，意味着每个 X→A 中 X 都是超键，因此满足 3NF 的第一个条件（X 是超键）。

3. 结论：

   • R 满足 BCNF，因此 R 中的任意函数依赖 X→A 都满足 3NF 的要求。
   • 换言之，BCNF 是 3NF 的更严格形式，因此 R 满足 BCNF 时必然满足 3NF。

补充说明：

• BCNF vs 3NF：
  • BCNF 的约束更强，所有非平凡的函数依赖都要求左部 X 是超键。
  • 3NF 允许一些特殊情况（非主属性依赖于非超键），但这些情况不满足 BCNF。
  • 因此，BCNF 是 3NF 的真子集。

相关知识点

非主属性

非主属性是数据库中指一个关系模式中不属于任意候选键的属性。简单来说，它不能作为唯一标识关系中元组的属性。

超键（Super Key）

超键是数据库关系模式中一个属性或属性的集合，用来唯一标识关系表中每一行数据。也就是说，在关系 R 中，超键的值可以唯一区分每一元组（记录）。

超键的特性：

1. 唯一性：
   • 对于关系 R 中任意两条元组 t₁ 和 t₂，如果 t₁[X]≠t₂[X]，则 X 是超键。
   • 即，超键的值在整个关系中是唯一的。
2. 冗余性：
   • 超键可以包含多余的属性。如果从超键中去掉某些属性后，仍然能唯一标识元组，则这个超键包含了冗余。
   • 例如，如果 {A,B,C} 是超键，而 {A,B} 也是超键，那么 {A,B,C} 包含冗余。

候选键（Candidate Key）

候选键是超键的一个子集，它满足以下条件：

1. 唯一性： 候选键可以唯一标识关系中的每一元组。
2. 最小性： 候选键不能再去掉任何属性，否则将失去唯一标识的能力。

候选键的特性：

1. 一个关系模式可以有多个候选键。
2. 候选键是超键的最简形式（无冗余），也是构造主键的候选项。

主键（Primary Key）

主键是从候选键中选定的，用于唯一标识关系中每一元组的键。主键具有以下特性：

1. 主键的值必须唯一。
2. 主键的值不能为 NULL（空值）。
3. 在一个关系中，主键只能有一个，但候选键可以有多个。

主键的作用：

• 确保关系表中的每一行数据的唯一性。
• 通常用于与外键建立参照完整性约束。

候选键与主键的关系：

• 候选键是潜在的主键，数据库设计者从候选键中选择一个作为主键。
• 其余未选为主键的候选键可被称为备用键（Alternate Key）。

区别总结

外键（Foreign Key）

外键是一个属性或属性集合，用于建立两个表之间的关联。它的值必须匹配另一个表中的主键或候选键的值，确保参照完整性。

外键的作用：

1. 确保表之间的数据一致性。
2. 实现关系数据库的约束机制，避免孤立数据或破坏数据完整性。