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姿态矩阵推导简记

科牛 2022-01-09 阅读 64

标签: 算法

（大部分属于个人理解）

欧拉角法

首先明确的是三个欧拉角，对于任意右手三维空间笛卡尔坐标系定义：

绕 z 轴 正方向 旋转，为航向/摇头角 $\psi$ /psi
绕 y 轴 正方向 旋转，为俯仰/点头角 $\theta$ /theta
绕 x 轴 正方向 旋转，为横滚/侧滚角 $\phi$ /phi

并且，必须按上述顺序进行旋转！

对于一个二维平面，一个点在旋转前后坐标系下的投影变换推导如下：

$\begin{cases} x_0=rcos\alpha\\ y_0=rsin\alpha \end{cases}$

写成矩阵形式有

接下来推广到三维空间坐标系旋转中有，

$\begin{bmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cos\psi & sin\psi & 0 \\ -sin\psi & cos\psi & 0\\ 0&0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0\\ y_0\\ z_0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & 0 & -sin\theta\\ 0 & 1 & 0\\ sin\theta & 0 & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{bmatrix}$

注意沿y轴正方向旋转时，\theta的方向

$\begin{bmatrix} x_3\\ y_3\\ z_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & cos\phi & sin\phi\\ 0& -sin\phi & cos\phi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{bmatrix}$

将上述三次旋转连起来有

合并有

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