格密码的基础概念

• 前言
• 一.格的定义
• 二. 格的延展空间
• 三. 格的基本区
• 四.格基的判断定理
• 五. 格基的关系
• 六. 格基的变换
• 七. 格的行列式
• 八. Gram-Schmidt正交化
• 结论

前言

首先引入数学上的一个概念“格点”。怎么定义格点呢？格点是n维空间中的一组具有周期性结构的点，如下图所示（二维空间的“格”）。三维空间的“格点”可以出现在一些晶体中，就像一堆整齐叠放的橘子。历史上，从18世纪末开始，拉格朗日、高斯以及后来的闵可夫斯基等数学家已经开始研究“格”这个概念。

近几年，“格”已经成为计算机科学领域中研究的热点性问题之一。“格”可以看成解决安全问题的算法工具；结合计算复杂性，“格”在密码学和密码分析中应用广泛。

一.格的定义

给定n维空间中一组线性无关向量，其整系数组合构成的集合称为格。

此处的$(b_1,\cdots ,b_n)$定义为格基。同一个格可以由多组不同的格基生成。$b_1,\cdots ,b_n\in$$R^m$,此处如果m=n，则称该“格”满秩。因为格是否满秩对它的性质研究影响不大，所以通常研究满秩的格。
举例：
格基$(1,0{)}^T$与$(0,1{)}^T$可以产生二维空间的所有整数格。如下图：

能产生二维空间的所有整数格的格基不唯一，还可以是：$(1,1{)}^T与(2,1{)}^T，(2021,1{)}^T与（1,2022{)}^T$，如下图：

格基$(1,1{)}^T$与$(2,0{)}^T$不能产生二维空间的所有整数格。如下图打“×”的为可产生的格，横纵坐标相加为偶数：

二. 格的延展空间

格基实系数组合生成的空间为延展空间。（区别于前面定义的整数）

三. 格的基本区

格基在[0,1)中实系数组合生成的空间,称为格的基本区。

如果将格基$(1,1{)}^T$与$(2,0{)}^T$基本区平移放置在每个格点上，就可以形成此格的延展空间$span(L(B))$，如下图：

四.格基的判断定理

秩为n的格$\Lambda$上线性无关的向量组$B=b_1,\cdot \cdot \cdot b_n$为格$\Lambda$的基，当且仅当: P ( B ) ∩ Λ = { 0 } 。 P(B)\cap\Lambda=\lbrace0\rbrace。 P(B)∩Λ={0}。
$证明方法$：依据格的定义可得。
类推逆定理也对。

五. 格基的关系

当给出两组格基$B_1,B_2$，如何判断它们产生的格是一样的呢，也就是$L(B_1)=L(B_2)$吗？
$B_1,B_2$为同一个格的格基，当且仅当存在幺模矩阵U，满足$B_1=B_{2}U$
证明充分性过程如下：

证明必要性：已知$B_2=B_{1}U,U为幺模矩阵$，求证$L(B_1)=L(B_2)$
依据$B_2=B_{1}U$，所以$B_2$的每一列都包含在$L(B_1)$中，所以$L(B_1)$$\subseteq$L$(B_2)$。依据幺模矩阵的性质，同理可得$L(B_2)$$\subseteq$L$(B_1)$。所以$L(B_1)=L(B_2)$。
$提示：行列式等于\pm 1的方阵称为幺模矩阵，幺模矩阵的逆依旧为幺模矩阵。$
$此处矩阵乘法的相关性质略。$
推论1：矩阵B是$Z^n$的格基，当且仅当它为幺模矩阵。
推论2：若属于同一个格，则两组基可以相互整系数表示

六. 格基的变换

$B_1,B_2$为同一个格的基，当且仅当可以通过下述变换进行转换：

根据行列式的性质，上式中的变换对应的变换矩阵的行列式为$\pm 1$

七. 格的行列式

格$\Lambda =L(B)$的行列式定义为$det(\Lambda )=\sqrt[2]{det(B^{T}B)}$。
当$\Lambda$满秩时，矩阵B为方阵，格$\Lambda =L(B)$的行列式直接为为KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 22: …ambda)=|det(B)|}̲。
$推论1$：格的行列式与具体基无关。证明如下：
假定$B_1与B_2$为格$\Lambda$的两组不同格基，依据定义六$B_2=B_{1}U,U为幺模矩阵$。可得如下变换：

$推论2$：格行列式的大小与格点的密度成反比。在格的延展空间中取一个n维的球K，球内格点数与$\frac{vol(K)}{det(\Lambda )}$成正比例，其中vol(K)为n维球K的体积。
$推论3$：格的行列式等于格的基本区面积，与具体基无关

八. Gram-Schmidt正交化

在线性代数中，Gram-Schmidt正交化是将n个线性独立的向量产生n个正交向量。原理就是将每一个向量都正交投影到其他剩余向量的空间维度上，以二维空间为例，如下：

由此，对于一组线性无关向量$B=b_1,\dots ,b_n$，其Gram-Schmidt正交化定义为如下：

其中，$\widetilde{b_i}$是$b_i$垂直于$\widetilde{b_1},\dots ,b_{i-1}$的部分。
$推论1$：$若i\ne$$j$则夹角$<\widetilde{b_i},\widetilde{b_j}>=0$
$推论2$：对于$1\le$$i\le$$n$，延展空间$span(b_1,\dots ,b_i)=span(\widetilde{b_1},\dots ,\widetilde{b_i})$。
$推论3$：向量$\widetilde{b_1},\dots ,\stackrel{~}{}{b}_n$一般不是格$L(b_1,\dots ,b_n)$的格基，甚至一般都不在格上。
$推论4$：$\mathbf{B}的向量顺序不同，得到的\tilde{\mathbf{B}}$也不同。所以通常将这些向量类比为数列而不是集合。

结论

格密码的应用领域广泛。

格密码与普通密码算法相比，优势众多。