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整数n分解为k个数的和

fbd4ffd0717b 2022-04-13 阅读 72
c++

将 n 分解成k个正整数的和,有多少种分解方法?

俩种方法:动态规划,组合数

动态规划,暴力解
复杂度O(mnn)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll dp[m][n]; // dp[i][j] 用i个数表示出j的方案数 

int main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for (int j=1;j<=n;j++) dp[1][j] = 1;
	
	for (int i=2;i<=m;i++) 
		for (int j=1;j<=n;j++) //j=i开始也可以(更准确,但不影响结果)
			for (int k=1;k<j;k++) //k<=j-i+1 也可以(更准确,但不影响结果)
				dp[i][j]+=dp[i-1][j-k];
	cout<<dp[m][n]
}

组合数,挡板法,把n想象成n个1,每个1之间都有1个空,所以共有n-1个空,我们的目的是插入k-1个挡板将这n个数分成k组,每一组1之和就是作为一个加数,所以C(n,k-1)
注意,当C(n,k-1)>1e18时候,要用数组存储结果
复杂度O(n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int main(){
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	ll ans=1;
	for(ll i=1;i<=k;i++){
		ans*=n-i+1;
		ans/=i;
	}
	cout<<ans;
}
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