【数论】博弈论

公平游戏——ICG

满足条件

1. 两名玩家交替操作
2. 在任意时刻，两名玩家的可选操作相同
3. 最终无法操作的玩家为负

必胜态与必败态

• 必胜态
  指当前玩家操作后，另一名玩家不论如何操作，最终一定为负
• 必败态
  当前玩家不论如何操作，操作后留给另一名玩家的都是必胜态

Nim Game

• Nim 游戏不存在平局
• 先操作的为先手，另一人为后手
• 对于某一状态的结果为：先手必败或先手必胜

定理

• Nim 游戏先手必胜当且仅当：
  $$A_{1}xor{A}_{2}xor...xor{A}_n-1xor{A}_n\ne 0$$
• 证明
  

有向图游戏

• 对于一个无环有向图，仅有一个起点，起点处有一枚棋子，两名玩家交替按某条件移动，无法移动者为负
• 任何公平游戏都可以转化为有向图游戏

Mex运算

设S为一个非负整数集合，定义$Mex$ 为求出不属于该集合的最小自然数，记为：
M e x ( S ) = m i n x ∈ N , x ∉ S   { x } Mex(S) = {min}_{x\in N,x \notin S}\ \{x\} Mex(S)=minx∈N,x∈/​S​ {x}

SG 函数

• 对于一个有向图游戏，设当前节点为x，其后继节点为$y_1,y_2...y_m$，定义$SG(x)$为：
  S G ( x ) = M e x {   S G ( y 1 )   x o r   S G ( y 2 )   x o r . . . x o r   S G ( y m )   } SG(x) = Mex\{\ SG(y_1)\ xor\ SG(y_2)\ xor...xor \ SG(y_m)\ \} SG(x)=Mex{ SG(y1​) xor SG(y2​) xor...xor SG(ym​) }

SG定理

• 对于由多个有向图组成的有向图游戏，设每个图的起点为$A_i$ 则该有向图游戏的和为：
  $$SG(A_1)xorSG(A_2)xor...xorSG(A_{n-1})xorSG(A_n)$$
• 必胜局面满足：
  $$SG(A_1)xorSG(A_2)xor...xorSG(A_{n-1})xorSG(A_n)\ne 0$$
• 必输局面满足：
  $$SG(A_1)xorSG(A_2)xor...xorSG(A_{n-1})xorSG(A_n)=0$$
• 证明法类似于Nim游戏证明