Floating-point Arithmetic
- 1. Float类型变量的表示
- 2. 加减运算
- 2.1. 加减的过程
- 2.2. 问题出现
- 2.3. 关键步骤:带符号的数字如何直接相加？
- 2.3.1. 几个例子
- 3. 乘除运算
- 4. 除法运算
- 5. 浮点数的精度问题
- Rounding
- 舍弃策略
- 问题来了:保护位用没有可能让你运算的结果更加不正确
- 对于浮点数而言，乘除是比较简单的，但是加减是困难。
1. Float类型变量的表示
浮点数表示的定义
浮点数的表示方法
浮点数的表示
浮点数的表示范围
2. 加减运算
- 加减首先要想办法把两个小数点对齐
- 对齐方式:一定是小的向大的靠近，而不是大的向小的部分靠近。
- 我们怕的是向大的调整会出现上溢。
2.1. 加减的过程
- Add signed significands：表示需要根据正负号来进行运算，如果是正号那么直接加，如果是负号，那么进行减法。
- 参与运算的尾数是64位，而不是32位。
- 发现尾数是0，我们判断他是0，我们需要把它的指数设置为0，在进行加法运算后，如果是两个相反数相加，那么需要将指数位清0。
- significand是尾数。
2.2. 问题出现
尾数溢出
- 如果1.00…0加上1.00…0进位，那么我们需要右移指数自加。
指数溢出
- 如果溢出，我们要把s设为全0,指数变化为全1(E=127,E是减去127后的)
结果规格化
- 将s左移，保证规格化(当两个数字很接近的时候)
- 1.11111-1.11110
- 问题出现:
- 如果减法过于接近的话，结果可能降低到2-127以下
- 反规格化时，便表示过小，指数退1(-126和-127，也该是s/2)，也就是1.00…0转换成0.00…0这样子
2.3. 关键步骤:带符号的数字如何直接相加？
- 加法的时候，我们只要把符号拿出来相加，然后后面相加即可
- 减法的时候，我们可以先借位。(X-Y=X+2-Y-2)
- 2 = 1.11…1 +0.00…1
- 先借位2，然后如果产生进位，那么直接还掉2即可
- 如果不够减，那么最后仍需要进行取反加一，然后在前面添加一个负号，和之前的(X-Y)整体外面的部分的符号作用。
2.3.1. 几个例子
- 减法要借位，最后要确定能不能还上
减法的例子
- 符号不同
- 第二个右移指数为变大，将缺省的数字添加起来
- 1.00…00 + 0.11100…0
- 绿色部分的第一个数字是缺省位
加法的例子
- 对齐后进行有符号整数的相加
- 就是首先对齐指数位，下面变成0 111000…0,然后有符号整数相加，先取反加一为1 001000…0
- 接下来可以之后，我们需要进行规格化，因为比较小。
- 减法需要借位，最后进行判断。
3. 乘除运算
- 首先我们进行异或运算
- X*Y = (a1异或a2) s1*s2*2e1+e2
- e1 = E1 - 127
- e2 = E2 - 127
- E1 + E2 - 127 = E* = e1 + e2 + 127
- 接下来s1*s2
- 小数点应该在第一个后面
- 减去了127
- 左侧是指数位运算，也就是指数一+指数二-127
4. 除法运算
- 同样127会被减去，所以需要加回来，在调整指数的时候
5. 浮点数的精度问题
- 有一些数字是不能被准确正好的表示的。
- y比x小2-23。
- 在运算过程中1会被丢掉
- 首先对齐，那么y的整体会下移，然后最后一位的1被丢掉了
- 相当于表示精度的位数刚好被丢掉了
- 问题产生了，那么我们怎么去解决呢？我们使用guard bits也就是扩展到28位存储，防止精度丢失
- guard bits:保护位
Rounding
- 我们有了保护位，但是之后的保护位被舍去的时候，我们怎么处理保护位中仍存在的部分呢？
- 我们可以直接截取:总体来说这个数字是向0靠近
舍弃策略
- 向正无穷:负数尾数全部截，正数尾数进位
- 向负无穷:正数尾数全部截，负数尾数进位
- 向0靠近
- 四舍五入:
- 最后4位，如果第一位是0，那么直接截去。
- 最后4位。如果第一位是1，那么我们产生进位。
问题来了:保护位用没有可能让你运算的结果更加不正确
接下来我们进行分别计算
加法
- 保护位6位，因为一共16位，符号为1位，数字9位
- 如果用四舍五入就没问题了
- 为什么有了保护位，精度反而下降了？
- 保护位保护的是652.0和7.4765625这里面的数字，而未必是原来数字的精度
