文章目录

• 一，网络流的基础概念
• EK 求最大流

一，网络流的基础概念

1.1 流网络，不考虑反向边
1.2 可行流，不考虑反向边
    1.2.1 两个条件：容量限制、流量守恒
    1.2.2 可行流的流量指从源点流出的流量 - 流入源点的流量
    1.2.3 最大流是指最大可行流
1.3 残留网络，考虑反向边，残留网络的可行流f' + 原图的可行流f = 原题的另一个可行流
    (1) |f' + f| = |f'| + |f|
    (2) |f'| 可能是负数
1.4 增广路径
1.5 割
    1.5.1 割的定义
    1.5.2 割的容量，不考虑反向边，“最小割”是指容量最小的割。
    1.5.3 割的流量，考虑反向边，f(S, T) <= c(S, T)
    1.5.4 对于任意可行流f，任意割[S, T]，|f| = f(S, T)
    1.5.5 对于任意可行流f，任意割[S, T]，|f| <= c(S, T)
    1.5.6 最大流最小割定理
        (1) 可以流f是最大流
        (2) 可行流f的残留网络中不存在增广路
        (3) 存在某个割[S, T]，|f| = c(S, T)
1.6. 算法
    1.6.1 EK O(nm^2)
    1.6.2 Dinic O(n^2m)
1.7 应用
    1.7.1 二分图
        (1) 二分图匹配
        (2) 二分图多重匹配
    1.7.2 上下界网络流
        (1) 无源汇上下界可行流
        (2) 有源汇上下界最大流
        (3) 有源汇上下界最小流
    1.7.3 多源汇最大流

EK 求最大流

• 给定一个包含 n 个点 m 条边的有向图，并给定每条边的容量，边的容量非负。

• 图中可能存在重边和自环。求从点 S 到点 T 的最大流。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 20010, INF = 1e8;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], f[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], pre[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}

bool bfs()
{
    int hh = 0, tt = 0;
    memset(st, false, sizeof st);
    q[0] = S, st[S] = true, d[S] = INF;
    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int ver = e[i];
            if (!st[ver] && f[i])
            {
                st[ver] = true;
                d[ver] = min(d[t], f[i]);
                pre[ver] = i;
                if (ver == T) return true;
                q[ ++ tt] = ver;
            }
        }
    }
    return false;
}

int EK()
{
    int r = 0;
    while (bfs())
    {
        r += d[T];
        for (int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1])
            f[pre[i]] -= d[T], f[pre[i] ^ 1] += d[T];
    }
    return r;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }

    printf("%d\n", EK());

    return 0;
}