谱分析Spectral Analysis of Stochastic Process
谱，从某种角度出发，进行分解，以把握特征。
1.引入：确定性信号的分解
对于确定性周期信号： X ( t ) , d e t e r m i n i s t i c , P e r i o d i c : X ( t + T ) = X ( t ) X(t),deterministic,Periodic:X(t+T)=X(t) X(t),deterministic,Periodic:X(t+T)=X(t)
，有： x ( t ) = ∑ k α k e j ω k t , ω k = 2 k π T , 2 π T x(t)=\sum_k\alpha_ke^{j\omega_kt},\omega_k=\frac{2k\pi}{T},\frac{2\pi}{T} x(t)=∑kαkejωkt,ωk=T2kπ,T2π为基频Base Frequency，其中 α k = 1 T ∫ − T 2 T 2 x ( t ) e − j ω k t d t \alpha_k=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega_kt}dt αk=T1∫−2T2Tx(t)e−jωktdt
- 展开仅仅成立在 t ∈ [ − T 2 , T 2 ] t\in[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}] t∈[−2T,2T]
- 对于非周期函数也可在区间做傅里叶级数展开，区间之外傅里叶级数是其周期延拓
- 基函数 1 T e j ω k t , k ∈ ( − ∞ , + ∞ ) \frac{1}{\sqrt{T}}e^{j\omega_kt},k\in(-\infty,+\infty) T1ejωkt,k∈(−∞,+∞)是规范正交基。此时与对应函数做内积就可以直接得到系数，相当于在对应方向上的投影。
当
T
→
∞
T\rightarrow\infty
T→∞，则有傅里叶变换：
x
(
t
)
=
1
T
∑
k
=
−
∞
+
∞
[
∫
−
T
2
T
2
x
(
s
)
e
−
j
ω
k
s
d
s
]
e
j
ω
k
t
=
1
T
∑
k
=
−
∞
+
∞
[
∫
−
T
2
T
2
x
(
s
)
e
−
j
2
k
π
T
s
d
s
]
e
j
2
k
π
T
t
=
1
2
π
∑
k
=
−
∞
+
∞
[
∫
−
T
2
T
2
x
(
s
)
e
−
j
2
k
π
T
s
d
s
]
e
j
2
k
π
T
t
⋅
2
π
T
lim
T
→
∞
x
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
X
(
ω
)
e
j
ω
t
d
ω
\begin{aligned} x(t)&=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\omega_ks}ds]e^{j\omega_kt}\\ &=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\frac{2k\pi}{T}s}ds]e^{j\frac{2k\pi}{T}t}\\ &=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\frac{2k\pi}{T}s}ds]e^{j\frac{2k\pi}{T}t}\cdot\frac{2\pi}{T}\\ \lim_{T\rightarrow\infty}x(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega\\ \end{aligned}
x(t)T→∞limx(t)=T1k=−∞∑+∞[∫−2T2Tx(s)e−jωksds]ejωkt=T1k=−∞∑+∞[∫−2T2Tx(s)e−jT2kπsds]ejT2kπt=2π1k=−∞∑+∞[∫−2T2Tx(s)e−jT2kπsds]ejT2kπt⋅T2π=2π1∫−∞+∞X(ω)ejωtdω
傅里叶变换对：
{
x
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
X
(
ω
)
e
j
ω
t
d
ω
X
(
ω
)
=
∫
−
∞
+
∞
x
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
\left\{ \begin{aligned} x(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega\\ X(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt \end{aligned} \right.
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x(t)X(ω)=2π1∫−∞+∞X(ω)ejωtdω=∫−∞+∞x(t)e−jωtdt
2.随机信号的分解——功率谱密度
x ( t ) = 1 2 π ∑ k = − ∞ + ∞ [ ∫ − T 2 T 2 x ( s ) e − j 2 k π T s d s ] e j 2 k π T t ⋅ 2 π T x(t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\frac{2k\pi}{T}s}ds]e^{j\frac{2k\pi}{T}t}\cdot\frac{2\pi}{T} x(t)=2π1k=−∞∑+∞[∫−2T2Tx(s)e−jT2kπsds]ejT2kπt⋅T2π
相比确定信号，随机信号可能存在一个问题，积分是否收敛？
对于傅里叶变换积分收敛，存在一个条件： x ( t ) ∈ L 1 ( R ) ⇔ ∫ − ∞ + ∞ ∣ x ( t ) ∣ d t < ∞ x(t)\in L^1(\mathbb{R})\Leftrightarrow\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|dt<\infty x(t)∈L1(R)⇔∫−∞+∞∣x(t)∣dt<∞。该条件对于确定性信号，是普遍满足的。对于不满足的情况，通常也会做一些处理。
面对这样的问题，可以提供两种解决办法。物理的角度：可以想到的是，希望做傅里叶的是有衰减趋势的函数，可以考虑二阶的函数。大部分相关函数是衰减的（也有周期振荡的）。下面以复随机信号(宽平稳)为例：
1
T
E
∣
∫
−
T
2
T
2
x
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
∣
2
(
有
损
的
变
换
,
相
位
信
息
消
失
)
=
1
T
E
(
∫
−
T
2
T
2
x
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
)
(
∫
−
T
2
T
2
x
(
s
)
e
−
j
ω
s
d
s
‾
)
=
1
T
∫
−
T
2
T
2
∫
−
T
2
T
2
E
[
x
(
t
)
x
(
s
)
‾
]
e
−
j
ω
(
t
−
s
)
d
t
d
s
(
对
于
宽
平
稳
有
E
[
x
(
t
)
x
(
s
)
‾
]
=
R
x
(
t
,
s
)
=
R
x
(
t
−
s
)
)
=
1
T
∫
−
T
2
T
2
∫
−
T
2
T
2
R
x
(
t
−
s
)
e
−
j
ω
(
t
−
s
)
d
t
d
s
(
换
元
u
=
t
−
s
,
v
=
t
+
s
,
雅
可
比
行
列
式
d
t
d
s
=
∣
d
e
t
∂
(
t
,
s
)
∂
(
u
,
v
)
∣
d
u
d
v
=
1
2
d
u
d
v
)
=
1
2
T
[
∫
−
T
0
∫
−
u
−
T
u
+
T
R
x
(
u
)
e
−
j
ω
u
d
v
d
u
+
∫
0
T
∫
u
−
T
−
u
+
T
R
x
(
u
)
e
−
j
ω
u
d
v
d
u
]
=
1
2
T
∫
−
T
T
∫
∣
u
∣
−
T
−
∣
u
∣
+
T
R
x
(
u
)
e
−
j
ω
u
d
v
d
u
=
1
2
T
∫
−
T
T
(
2
T
−
2
∣
u
∣
)
R
x
(
u
)
e
−
j
ω
u
d
u
=
∫
−
T
T
(
1
−
∣
u
∣
T
)
R
x
(
u
)
e
−
j
ω
u
d
u
则
lim
T
→
∞
1
T
E
∣
∫
−
T
2
T
2
x
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
∣
2
=
∫
−
∞
+
∞
R
x
(
u
)
e
−
j
ω
u
d
u
=
S
x
(
ω
)
\begin{aligned} &\frac{1}{T}E|\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega t}dt|^2\\ (&有损的变换,相位信息消失)\\ =&\frac{1}{T}E(\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega t}dt)(\overline{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\omega s}ds})\\ =&\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}E[x(t)\overline{x(s)}]e^{-j\omega (t-s)}dtds\\ (&对于宽平稳有E[x(t)\overline{x(s)}]=R_x(t,s)=R_x(t-s))\\ =&\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}R_x(t-s)e^{-j\omega (t-s)}dtds\\ (&换元u=t-s,v=t+s,雅可比行列式dtds=|det\frac{\partial(t,s)}{\partial(u,v)}|dudv=\frac{1}{2}dudv)\\ =&\frac{1}{2T}[\int_{-T}^0\int_{-u-T}^{u+T}R_x(u)e^{-j\omega u}dvdu+\int_0^T\int_{u-T}^{-u+T}R_x(u)e^{-j\omega u}dvdu]\\ =&\frac{1}{2T}\int_{-T}^T\int_{|u|-T}^{-|u|+T}R_x(u)e^{-j\omega u}dvdu\\ =&\frac{1}{2T}\int_{-T}^T(2T-2|u|)R_x(u)e^{-j\omega u}du\\ =&\int_{-T}^T(1-\frac{|u|}{T})R_x(u)e^{-j\omega u}du\\ 则&\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}E|\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega t}dt|^2=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(u)e^{-j\omega u}du=S_x(\omega) \end{aligned}
(==(=(====则T1E∣∫−2T2Tx(t)e−jωtdt∣2有损的变换,相位信息消失)T1E(∫−2T2Tx(t)e−jωtdt)(∫−2T2Tx(s)e−jωsds)T1∫−2T2T∫−2T2TE[x(t)x(s)]e−jω(t−s)dtds对于宽平稳有E[x(t)x(s)]=Rx(t,s)=Rx(t−s))T1∫−2T2T∫−2T2TRx(t−s)e−jω(t−s)dtds换元u=t−s,v=t+s,雅可比行列式dtds=∣det∂(u,v)∂(t,s)∣dudv=21dudv)2T1[∫−T0∫−u−Tu+TRx(u)e−jωudvdu+∫0T∫u−T−u+TRx(u)e−jωudvdu]2T1∫−TT∫∣u∣−T−∣u∣+TRx(u)e−jωudvdu2T1∫−TT(2T−2∣u∣)Rx(u)e−jωudu∫−TT(1−T∣u∣)Rx(u)e−jωuduT→∞limT1E∣∫−2T2Tx(t)e−jωtdt∣2=∫−∞+∞Rx(u)e−jωudu=Sx(ω)
上述结果即为功率谱密度Power Spectral Density，简称PSD。得到随机信号的傅里叶变换对（由相关函数的傅里叶变换得到功率谱密度）：
{
S
x
(
ω
)
=
∫
−
∞
+
∞
R
x
(
u
)
e
−
j
ω
u
d
u
R
x
(
u
)
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
S
x
(
ω
)
e
j
ω
u
d
ω
\left\{ \begin{aligned} S_x(\omega)=&\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(u)e^{-j\omega u}du\\ R_x(u)=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_x(\omega)e^{j\omega u}d\omega \end{aligned} \right.
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧Sx(ω)=Rx(u)=∫−∞+∞Rx(u)e−jωudu2π1∫−∞+∞Sx(ω)ejωudω
分析：
-
功率：量纲是 I 2 T I^2T I2T焦耳 J J J，即能量。换个角度，可得到 R x ( 0 ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S x ( ω ) d ω = E ∣ x ( t ) ∣ 2 R_x(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S_x(\omega)d\omega=E|x(t)|^2 Rx(0)=2π1∫−∞∞Sx(ω)dω=E∣x(t)∣2，为功率，则 S x ( ω ) S_x(\omega) Sx(ω)单位为功率除以频率，也就是功率乘以时间，故量纲是 J J J，即能量。
-
谱：功率谱密度反映的是随机过程在每个频点上功率的大小，是一个二阶量。
- S α x ( ω ) = ∣ α ∣ 2 S x ( ω ) S_{\alpha x}(\omega)=|\alpha|^2S_x(\omega) Sαx(ω)=∣α∣2Sx(ω)
- R x ( 0 ) − R x ( τ ) ≥ 1 4 [ R x ( 0 ) − R x ( 2 τ ) ] R_x(0)-R_x(\tau)\geq\frac{1}{4}[R_x(0)-R_x(2\tau)] Rx(0)−Rx(τ)≥41[Rx(0)−Rx(2τ)]
- R x ( 0 ) − R x ( τ ) ≥ 1 4 n [ R x ( 0 ) − R x ( 2 n τ ) ] R_x(0)-R_x(\tau)\geq\frac{1}{4^n}[R_x(0)-R_x(2^n\tau)] Rx(0)−Rx(τ)≥4n1[Rx(0)−Rx(2nτ)]
-
S x + y ≠ S x ( ω ) + S y ( ω ) S_{x+y}\neq S_x(\omega)+S_y(\omega) Sx+y=Sx(ω)+Sy(ω)
-
密度：体现在是常数。
-
关于 S x ( ω ) ≥ 0 S_x(\omega)\geq0 Sx(ω)≥0，从另外一个角度分析。相关函数 R x ( t ) R_x(t) Rx(t)是正定的，根据Bochner的结果，其傅里叶变换也是正的。
-
如果是实变量，功率谱是偶函数： S x ( ω ) = S x ( − ω ) S_x(\omega)=S_x(-\omega) Sx(ω)=Sx(−ω)。实信号没有负频率的说法，其频率负轴是频率正轴的镜像。验证：
S x ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ R x ( τ ) e − j ω τ d τ = ∫ − ∞ + ∞ R x ( τ ) c o s ( ω τ ) d τ − j ∫ − ∞ + ∞ R x ( τ ) s i n ( ω τ ) d τ ( 积 分 内 部 为 奇 函 数 ， 则 ∫ − ∞ + ∞ R x ( τ ) s i n ( ω τ ) d τ = 0 ) = ∫ − ∞ + ∞ R x ( τ ) c o s ( ω τ ) d τ = ∫ − ∞ + ∞ R x ( τ ) c o s ( − ω τ ) d τ = S x ( − ω ) \begin{aligned} S_x(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)cos(\omega\tau)d\tau-j\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)sin(\omega\tau)d\tau\\ &(积分内部为奇函数，则\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)sin(\omega\tau)d\tau=0)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)cos(\omega\tau)d\tau\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)cos(-\omega\tau)d\tau=S_x(-\omega) \end{aligned} Sx(ω)=∫−∞+∞Rx(τ)e−jωτdτ=∫−∞+∞Rx(τ)cos(ωτ)dτ−j∫−∞+∞Rx(τ)sin(ωτ)dτ(积分内部为奇函数，则∫−∞+∞Rx(τ)sin(ωτ)dτ=0)=∫−∞+∞Rx(τ)cos(ωτ)dτ=∫−∞+∞Rx(τ)cos(−ωτ)dτ=Sx(−ω)
- 随机过程通过线性系统：有 Y ( t ) = ( h ∗ x ) ( t ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t − τ ) x ( τ ) d τ Y(t)=(h*x)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)x(\tau)d\tau Y(t)=(h∗x)(t)=∫−∞∞h(t−τ)x(τ)dτ，其中 h ( t ) h(t) h(t)是系统的冲激响应， H ( ω ) H(\omega) H(ω)是传递函数。
R y ( t , s ) = E [ Y ( t ) Y ( s ) ‾ ] = E [ ( ∫ − ∞ + ∞ h ( t − τ ) x ( τ ) d τ ) ( ∫ − ∞ + ∞ h ( s − r ) x ( r ) d r ) ‾ ] = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ E [ x ( τ ) x ( r ) ‾ ] h ( t − τ ) h ( s − r ) ‾ d τ d r = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ R x ( τ − r ) h ( t − τ ) h ( s − r ) ‾ d τ d r ( 1. 被 积 函 数 自 变 量 相 加 可 消 去 积 分 变 量 ; 2. 卷 积 结 果 是 函 数 , 其 取 自 变 量 加 和 的 值 ) ( 构 造 h ~ ( t ) ) = h ( − t ) ‾ ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ R x ( τ − r ) h ( t − τ ) h ~ ( r − s ) d τ d r = ( R x ∗ h ∗ h ~ ) ( t − s ) \begin{aligned} R_y(t,s)&=E[Y(t)\overline{Y(s)}]\\ &=E[(\int_{-\infty}^{+\infty}h(t-\tau)x(\tau)d\tau)\overline{(\int_{-\infty}^{+\infty}h(s-r)x(r)dr)}]\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}E[x(\tau)\overline{x(r)}]h(t-\tau)\overline{h(s-r)}d\tau dr\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau-r)h(t-\tau)\overline{h(s-r)}d\tau dr\\ &(1.被积函数自变量相加可消去积分变量;2.卷积结果是函数,其取自变量加和的值)\\ &(构造\widetilde{h}(t))=\overline{h(-t)})\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau-r)h(t-\tau)\widetilde{h}(r-s)d\tau dr\\ &=(R_x*h*\widetilde{h})(t-s)\\ \end{aligned} Ry(t,s)=E[Y(t)Y(s)]=E[(∫−∞+∞h(t−τ)x(τ)dτ)(∫−∞+∞h(s−r)x(r)dr)]=∫−∞+∞∫−∞+∞E[x(τ)x(r)]h(t−τ)h(s−r)dτdr=∫−∞+∞∫−∞+∞Rx(τ−r)h(t−τ)h(s−r)dτdr(1.被积函数自变量相加可消去积分变量;2.卷积结果是函数,其取自变量加和的值)(构造h (t))=h(−t))=∫−∞+∞∫−∞+∞Rx(τ−r)h(t−τ)h (r−s)dτdr=(Rx∗h∗h )(t−s)
结论:宽平稳的随机过程通过线性系统仍然是宽平稳。
H
~
(
ω
)
=
∫
−
∞
+
∞
h
~
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
=
∫
−
∞
+
∞
h
(
−
t
)
‾
e
−
j
ω
t
d
t
=
∫
−
∞
+
∞
h
(
−
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
‾
=
∫
−
∞
+
∞
h
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
‾
=
H
(
ω
)
‾
S
y
(
ω
)
=
S
x
(
ω
)
H
(
ω
)
H
~
(
ω
)
=
S
x
(
ω
)
H
(
ω
)
H
(
ω
)
‾
=
S
x
(
ω
)
∣
H
(
ω
)
∣
2
\begin{aligned} \widetilde{H}(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\widetilde{h}(t)e^{-j\omega t}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{h(-t)}e^{-j\omega t}dt\\ &=\overline{\int_{-\infty}^{+\infty}h(-t)e^{-j\omega t}dt}\\ &=\overline{\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)e^{-j\omega t}dt}\\ &=\overline{H(\omega)}\\ S_y(\omega)&=S_x(\omega)H(\omega)\widetilde{H}(\omega)\\ &=S_x(\omega)H(\omega)\overline{H(\omega)}\\ &=S_x(\omega)|H(\omega)|^2 \end{aligned}
H
(ω)Sy(ω)=∫−∞+∞h
(t)e−jωtdt=∫−∞+∞h(−t)e−jωtdt=∫−∞+∞h(−t)e−jωtdt=∫−∞+∞h(t)e−jωtdt=H(ω)=Sx(ω)H(ω)H
(ω)=Sx(ω)H(ω)H(ω)=Sx(ω)∣H(ω)∣2
例：
∣
E
[
X
(
t
)
Y
(
t
)
]
≤
[
E
(
X
2
(
t
)
Y
2
(
t
)
)
]
1
2
∣
R
X
Y
(
0
)
∣
≤
[
R
X
(
0
)
R
Y
(
0
)
]
1
2
∣
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
S
X
Y
(
ω
)
d
ω
∣
≤
1
2
π
[
∫
−
∞
+
∞
S
X
(
ω
)
d
ω
∫
−
∞
+
∞
S
Y
(
ω
)
d
ω
]
1
2
∣
∫
a
b
S
X
Y
(
ω
)
d
ω
∣
≤
[
∫
a
b
S
X
(
ω
)
d
ω
∫
a
b
S
Y
(
ω
)
d
ω
]
1
2
(
相
当
于
经
过
一
个
带
通
滤
波
器
,
是
线
性
的
)
\begin{aligned} |E[X(t)Y(t)]&\leq[E(X^2(t)Y^2(t))]^{\frac{1}{2}}\\ |R_{XY}(0)|&\leq[R_X(0)R_Y(0)]^{\frac{1}{2}}\\ |\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_{XY}(\omega)d\omega|&\leq\frac{1}{2\pi}[\int_{-\infty}^{+\infty}S_X(\omega)d\omega\int_{-\infty}^{+\infty}S_Y(\omega)d\omega]^{\frac{1}{2}}\\ |\int_a^bS_{XY}(\omega)d\omega|&\leq[\int_a^bS_X(\omega)d\omega\int_a^bS_Y(\omega)d\omega]^{\frac{1}{2}}\\(相当于经过一个&带通滤波器,是线性的) \end{aligned}
∣E[X(t)Y(t)]∣RXY(0)∣∣2π1∫−∞+∞SXY(ω)dω∣∣∫abSXY(ω)dω∣(相当于经过一个≤[E(X2(t)Y2(t))]21≤[RX(0)RY(0)]21≤2π1[∫−∞+∞SX(ω)dω∫−∞+∞SY(ω)dω]21≤[∫abSX(ω)dω∫abSY(ω)dω]21带通滤波器,是线性的)
Wiener-Khinchine Relation.
Wiener：Cybernetics控制论，数学，美
Khinchine：排队论之父，前苏联
