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绝对中位差Median Absolute Deviation
示例
用途
MAD与标准差的关系
总体MAD
R语言MAD函数
绝对中位差Median Absolute Deviation
参考维基百科中的MAD定义
在统计学中，绝对中位数MAD是对单变量数值型数据的样本偏差的一种鲁棒性测量。同时也可以表示由样本的MAD估计得出的总体参数。
对于单变量数据集 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1, X_2, ..., X_n X1,X2,...,Xn，MAD定义为数据点到中位数的绝对偏差的中位数：
M A D = m e d i a n ( ∣ X i − m e d i a n ( X ) ∣ ) MAD = median(|X_i-median(X)|) MAD=median(∣Xi−median(X)∣)
也就是说，先计算出数据与它们的中位数之间的残差（偏差），MAD就是这些偏差的绝对值的中位数。
示例
考虑数据集(1, 1, 2, 2, 4, 6, 9)，它的中位数为2。数据点到2的绝对偏差为(1, 1, 0, 0, 2, 4, 7)，该偏差列表的中位数为1（因为排序后的绝对偏差为(0, 0, 1, 1, 2, 4, 7)）。所以该数据的绝对中位差为1。
用途
绝对中位差是一种统计离差的测量。而且，MAD是一种鲁棒统计量，比标准差更能适应数据集中的异常值。对于标准差，使用的是数据到均值的距离平方，所以大的偏差权重更大，异常值对结果也会产生重要影响。对于MAD，少量的异常值不会影响最终的结果。
由于MAD是一个比样本方差或者标准差更鲁棒的度量，它对于不存在均值或者方差的分布效果更好，比如柯西分布。
MAD与标准差的关系
为了能将MAD当作标准差 σ \sigma σ估计的一种一致估计量，使用
σ ^ = k ⋅ M A D \hat\sigma = k \cdot MAD σ^=k⋅MAD
其中 k 为比例因子常量，值取决于分布类型。
对于正态分布数据，k的值为：
k = 1 / ( Φ − 1 ( 3 / 4 ) ) ≈ 1.4826 k = 1/(\Phi^{-1}(3/4)) \approx 1.4826 k=1/(Φ−1(3/4))≈1.4826
也就是标准正态分布 Z = X / σ Z = X/\sigma Z=X/σ的分位函数的倒数（也称为逆累积分布函数）。数值3/4是为了 ± M A D \pm MAD ±MAD包含标准正态累积分布函数的50%（从1/4到3/4的范围值），也就是：
1 2 = P ( ∣ X − μ ∣ ≤ M A D ) = P ( ∣ X − μ σ ∣ ≤ M A D σ ) = P ( ∣ Z ∣ ≤ M A D σ ) . {1 \over 2} = P(|X-\mu| \le MAD) = P(|{X-\mu \over \sigma}| \le {MAD \over \sigma}) = P(|Z| \le {MAD \over \sigma}). 21=P(∣X−μ∣≤MAD)=P(∣σX−μ∣≤σMAD)=P(∣Z∣≤σMAD).
所以，必须有：
Φ ( M A D / σ ) − Φ ( − M A D / σ ) = 1 / 2 \Phi(MAD/\sigma) - \Phi(-MAD/\sigma) = 1/2 Φ(MAD/σ)−Φ(−MAD/σ)=1/2
更多请见：http://www.mark-to-win.com/tutorial/51696.html
