2022牛客寒假算法基础集训营1
ST表
倍增与二进制划分相结合可以降低很多题目的算法复杂度。主要常见的应用为求区间最值问题(RMQ)的ST表,以及求解最近公共祖先(LCA)的树上倍增思想。
以下总结的关于RMQ问题的思想。
功能
O(1)时间复杂度内在线回答数组中在下标 [ l , r ] [l, r] [l,r]之间的数最大值为多少。但是需要NlogN的时间预处理。
定义
f
[
i
,
j
]
:
表
示
数
列
A
中
下
标
在
区
间
[
i
,
i
+
2
j
−
1
]
里
的
数
的
最
大
值
,
也
就
是
从
i
开
始
的
2
j
个
数
的
最
大
值
。
f[i, j] : 表示数列A中下标在区间[i, i + 2^j - 1]里的数的最大值,也就是从i开始的2^j个数的最大值。
f[i,j]:表示数列A中下标在区间[i,i+2j−1]里的数的最大值,也就是从i开始的2j个数的最大值。
地推边界:
f
[
i
,
0
]
=
A
[
i
]
f[i, 0] = A[i]
f[i,0]=A[i]
状态转移方程
f
[
i
,
j
]
=
m
a
x
(
f
[
i
,
j
−
1
]
,
f
[
i
+
2
j
−
1
,
j
−
1
]
)
f[i, j] = max(f[i, j - 1], f[i + 2^{j - 1}, j - 1])
f[i,j]=max(f[i,j−1],f[i+2j−1,j−1])
即长度为
2
j
2^j
2j 的的区间的最大值等于左右两个长度为
2
j
−
1
2^{j - 1}
2j−1的区间的最大值中较大的一个。
查询
当查询任意区间的最值时,我们需要先计算出一个满足以下条件的k值, 2 k ≤ r − l + 1 < 2 k + 1 2^k \leq r- l + 1 < 2^{k + 1} 2k≤r−l+1<2k+1,也即使2的次幂小于区间长度的同时尽量大的一个k值。
代码
int n; cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> a[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) f[i][0] = a[i];
int t = log(n) / log(2) + 1;
//mp数组记录长度为j的区间对应的k值
for (int i = 0; i <= t; i++)
for (int j = 1 << i; j < 1 << (i + 1); j++)
mp[j] = i;
for (int j = 1; j < t; j++)
for (int i = 1; i <= n - (1 << j) + 1; i++)
f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
int q; cin >> q;
while (q--)
{
int l, r; cin >> l >> r;
int k = mp[r - l + 1];
cout << max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]) << endl;
}
上面该题的题解
思路
很明显,对于模3相等的初始值,其相同区间的分数变化量相同。所以我们只需要分别求出初始值为0, 1, 2时所有子区间各自对应的区间和即可。详细细节见下面的代码。
代码
const int N = 3e5 + 5;
int cnt = 0;
int f[3][N][20];//注意数组越界
int mp[N];
int main()
{
IOS;
int n, q; cin >> n >> q;
string s; cin >> s;
s = " " + s;
int t = log(n) / log(2) + 1;
for (int i = 0; i < t; i++)
for (int j = 1 << i; j < 1 << (i + 1); j++)
mp[j] = i;//注意数组越界
assert(1 << t < 3e5);
for (int k = 0; k < 3; k++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (s[j] == 'W') f[k][j][0] = 1;
else if (s[j] == 'L' && k) f[k][j][0] = -1;
for (int j = 1; j < t; j++)
for (int i = 1; i <= n - (1 << j) + 1; i++)
{
int p = i + (1 << (j - 1));
f[0][i][j] = f[0][i][j - 1] + f[(0 + f[0][i][j - 1]) % 3][p][j - 1];
f[1][i][j] = f[1][i][j - 1] + f[(1 + f[1][i][j - 1]) % 3][p][j - 1];
f[2][i][j] = f[2][i][j - 1] + f[(2 + f[2][i][j - 1]) % 3][p][j - 1];
//假设第一维的值为k
//注意:不能像上面的预处理一样单独循环三遍不同的k,因为当前状态的k可能会用到不同k值的状态
}
int l, r, p;
while (q--)
{
int ans;
cin >> l >> r >> ans;
//倍增思想的应用
while (l <= r)
{
ans += f[ans % 3][l][mp[r - l + 1]];
l += 1 << mp[r - l + 1];
}
cout << ans << endl;
}
return 0;
}