开始背包问题的练习！
1. 背包问题的理论基础
对于面试的话，其实掌握01背包，和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包。这里附上代码随想录的图，可以对背包问题进行一个分类。
1.1 十分重要的基础：01背包
比如这样的题：有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。
这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？
每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是$o(2^n)$，这里的n表示物品数量。
所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！
1.2 二维dp数组01背包
依然动规五部曲分析一波。
1. 确定dp数组以及下标的含义
对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
2. 确定递推公式
再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，
- 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
- 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
3. dp数组如何初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。
再看其他情况：状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。
4. 确定遍历顺序
先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。
5. 举例推导dp数组
做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！
最后的Python代码如下
def test_2_wei_bag_problem1(weight, value, bagweight):
# 二维数组
dp = [[0] * (bagweight + 1) for _ in range(len(weight))]
# 初始化
for j in range(weight[0], bagweight + 1):
dp[0][j] = value[0]
# weight数组的大小就是物品个数
for i in range(1, len(weight)): # 遍历物品
for j in range(bagweight + 1): # 遍历背包容量
if j < weight[i]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])
return dp[len(weight) - 1][bagweight]
if __name__ == "__main__":
weight = [1, 3, 4]
value = [15, 20, 30]
bagweight = 4
result = test_2_wei_bag_problem1(weight, value, bagweight)
print(result)1.3 一维滚动数组动态规划
对于背包问题其实状态都是可以压缩的。
在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
读到这里估计大家都忘了 dp[i][j]里的i和j表达的是什么了，i是物品，j是背包容量。
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
def test_1_wei_bag_problem(weight, value, bagWeight):
# 初始化
dp = [0] * (bagWeight + 1)
for i in range(len(weight)): # 遍历物品
for j in range(bagWeight, weight[i] - 1, -1): # 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
return dp[bagWeight]
if __name__ == "__main__":
weight = [1, 3, 4]
value = [15, 20, 30]
bagweight = 4
result = test_1_wei_bag_problem(weight, value, bagweight)
print(result)
2. 练习题
416. Partition Equal Subset Sum
只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入。
以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。
class Solution:
def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
_sum = 0
dp = [0] * 10001
for num in nums:
_sum += num
if _sum % 2 == 1:
return False
target = _sum // 2
for num in nums:
for j in range(target, num - 1, -1):
dp[j] = max(dp[j], dp[j - num] + num)
if dp[target] == target:
return True
return False
