集合框架 （第 10 篇） 源码分析：二叉树、平衡二叉树、二叉查找树、AVL树、红黑树

一、集合框架源码分析

• 集合框架 （第 01 篇） 源码分析：Collection<E> 框架总览
• 集合框架 （第 02 篇） 源码分析：Map<K,V > 框架总览
• 集合框架 （第 03 篇） 源码分析：ArrayList<E>
• 集合框架 （第 04 篇） 源码分析：LinkedList
• 集合框架 （第 05 篇） 源码分析：Map<K, V>接口与其内部接口Entry<K,V>
• 集合框架 （第 06 篇） 源码分析：哈希冲突(哈希碰撞)与解决算法
• 集合框架 （第 07 篇） 源码分析：jdk1.7版 HashMap
• 集合框架 （第 08 篇） 源码分析：HashMap、Hashtable、ConcurrentHashMap之间的区别
• 集合框架 （第 09 篇） 源码分析：jdk1.7版 ConcurrentHashMap
• 集合框架 （第 10 篇） 源码分析：二叉树、平衡二叉树、二叉查找树、AVL树、红黑树
• 集合框架 （第 11 篇） 源码分析：jdk1.8版 HashMap
• 集合框架 （第 12 篇） 源码分析：jdk1.8版 ConcurrentHashMap
• 集合框架 （第 13 篇） 源码分析：LinkedHashMap
• 集合框架 （第 14 篇） 源码分析：TreeMap
• 集合框架 （第 15 篇） 源码分析：Set<E> 集合
• 集合框架 （第 16 篇） 源码分析：BlockingQueue 接口
• 集合框架 （第 17 篇） 源码分析：CopyOnWriteArrayList 与 CopyOnWriteArraySet

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正文

一、树

树的基本术语

1. 节点(Node)：树中的每个元素称为 节点(Node)；
2. 根节点(Root Node)：树最顶端的节点被称为根节点（树根），根节点无父节点；
3. 父节点(Parent Node)：节点的（上面的）前驱节点在树中被称为父节点；
4. 子节点(Child Node)：（下面的）后继节点被称为子节点；
5. 子树(Subtree)：子节点及其下面的节点组成的树称为子树 ；
6. 一棵树最多只有一个根节点，树中的每个子节点最多只有一个父节点；
7. 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度（叶子节点的度为0）；
8. 叶节点(Leaf Node)（叶子节点或终端节点）：度为0的节点称为叶节点（也就是没有子节点的节点称为叶子节点）；
9. 非终端节点 或分支节点：度不为0的节点（拥有子节点的节点）；
10. 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
11. 树的度：一棵树中，节点中最大的度称为树的度；
12. 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
13. 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
14. 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；
15. 节点的祖先：从该节点上溯至根节点，所经分支上的所有节点；
16. 子孙节点：该节点下面所有所有的节点称为该节点的子孙节点；
17. 空树：没有节点的树称为空树；
18. 森林：由多棵互不相交（没有重叠节点）的树组成的集合称为森林（单棵树可以认为是特殊的森林）；

二、二叉树

二叉树的特性

1. 在非空二叉树的 i 层上，至多有 个节点(i>=1)；
2. 在深度为 d 的二叉树上最多有 2d-1 个结点（d>=1);
3. 对于任何一棵非空的二叉树,如果叶节点个数为 n0，度数为 2 的节点个数为 n2，则有: n0 = n2 + 1。

二叉树的遍历

这里有两个关键词：访问 和 次序。访问 包括 增删改查， 次序 包括 前序、中序、后序，前中后是以树的根节点作为参照物，又规定不管如何遍历 左子树 的访问顺序要排在 右子树 前面（左边）。

1、前序遍历（先序遍历）

2、中序遍历

中序遍历

3、后序遍历

后序遍历

三、平衡二叉树

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）的 平衡性 体现在以下几点：

1. 树的左、右子树的 高度差 的绝对值不超过1；
2. 任意节点左、右子树也分别平衡二叉树；

一棵数频繁的删除和插入节点都有可能使数发生旋转。平衡二叉树中访问节点的操作(插入、查找、删除)的时间复杂度维持在一个“平衡”的水准，既最坏情况和最好情况的时间复杂度维持在 O(logN)。

平衡二叉树

四、二叉查找树

二叉查找树(二叉搜索树 Binary Search Tree)的 查找 特性体现在以下几点：

1. 如果它的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
2. 如果它的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
3. 任意节点左、右子树也分别为二叉查找树。

先序遍历

二叉查找树的查找过程

1. 从树的根节点开始查找，并沿着这棵树中的一条简单路径向下进行；
2. 若树为空树，则查找失败，返回 null；
3. 对于访问的每个节点 x，若指定的值 k 等于结点 x 的值，返回该节点x 并结束查找；
4. 若指定的值 k 小于节点 x 的值，则在节点 x 的左子树中查找（根据上面二叉查找树的性质判断）；
5. 相反，若指定的值 k 大于节点 x 的值，则查找在节点 x 的右子树中继续；
6. 若查找至 叶子节点 后仍未匹配到相等值，则表示不存在指定值的节点，返回null。

五、AVL树（高度平衡树）

AVL树 得名于它的两位发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis的名字，树的特性是：

1. :wink:本身首先是一棵二叉查找树;
2. 每个节点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为 1 ；

AVL

ALV追求极限的平衡性，优点是在查找元素时，时间复杂度低，查找元素快。那么问题来了，在添加/删除元素时，AVL树为了追求“绝对的平衡性”，不断的通过循环来达到自平衡，增加时间复杂度。适所以AVL树适用于添加/删除元素少、查找操作多的环境下。

六、红黑树

红黑树（Red Black Tree） 也是一种 平衡二叉树（而平衡二叉树又是一种二叉查找树，所以红黑树也是一种二叉查找树），但它不像 AVL树 那样追求绝对的平衡，它这种于查找和添加/删除之间。特性是：

1. 树中所有节点都被染成红色?或黑色⚫️（官方话语：节点是红色或黑色）；
2. 根节点和叶子节点都是黑色⚫️
3. 每个红色节点?的两个子节点都是黑色⚫️（从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点?）；
4. 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点⚫️。

红黑树

上述特性构成了一个最关键的约束：从根节点到叶子节点的最长路径不大于最短路径的两倍长。

所以红黑树可以不是那么绝对的高度平衡。对于在树中添加/删除元素，红黑树也不像AVL树那样，为了达到绝对的自平衡而“使劲费力”地旋转整颗树了。

最差平衡二叉树即树退化成链表（可以看成特殊的树、没有叉的树），这样的树添加/删除元素快，不需要自平衡，但是查找慢，最坏情况要遍历整棵树。而从增删改查的时间复杂度来讲，红黑树 介于 二叉查找树 和 链表 之间，这是在添加/删除和查找之间一个折中的选择。

总结：

链表：适用于添加/删除多、查找少的场景；

二叉查找树：适用于查找多、添加/删除少的场景；

红黑树：适用于查找、添加、删除都多的场景。

七、B-Tree、B+Tree、B*Tree

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