2020牛客寒假算法基础集训营1——J.u's的影响力【矩阵快速幂 & 欧拉降幂】（附加强数据 & 注意坑点）

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题目描述

本题测试样例已经更(jia)新(qiang)。

μ’s在九人齐心协力下，影响力越来越大了！
已知第一天影响力为 ，第二天影响力为 ，从第三天开始，每一天的影响力为前两天影响力的乘积再乘以 的 次方。 用数学语言描述是：
设第 天的影响力为 ，那么 ，，对于 ，
她们想知道第 天影响力是多少？
由于这个数可能非常大，只需要输出其对

输入描述:

一行五个正整数： 。

输出描述:

第 天的影响力对

输入

4 2 3 2 1

输出

72

说明

f(1)=2，f(2)=3，f(3)=f(1)*f(2)*2=12，f(4)=f(2)*f(3)*2=72

备注:

1000000007是素数。

题解

• 显然可以用,和这三个因子表达出来。
  每一项a的幂次分别是从第三项开始每一项为前两项之和加1。
  而和的幂次构成斐波那契数列：的幂次第一项是，第二项是；的幂次第一项是，第二项是。之后每一项均为前两项之和。
• 根据费马小定理，由于是素数，有。因此幂的指数对
• 可以用矩阵快速幂求出幂次的第
• 

特别注意（赛后加强数据）

• 注意
  提供数据：1000000010 1000000007 3 5 1
• 

AC-Code

#include <bits/stdc++.h>
//#pragma GCC optimize("O3")
//#pragma G++ optimize("O3")
//#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
using namespace std;
#define
#define
#define

const int maxn = 3;
const int mod = 1e9 + 7;

struct mat {
  int m[maxn][maxn];
  mat() {
    memset(m, 0, sizeof m);
  }
}unit;

mat operator * (mat a, mat b) {
  mat ret;
  ll x;
  for (ll i = 0; i < maxn; ++i)
    for (ll j = 0; j < maxn; ++j) {
      x = 0;
      for (ll k = 0; k < maxn; ++k)
        x += ((ll)a.m[i][k] * b.m[k][j]) % (mod - 1);
      ret.m[i][j] = x % (mod - 1);
    }
  return ret;
}

void init_unit() {
  for (int i = 0; i < maxn; ++i)
    unit.m[i][i] = 1;
}

mat pow_mat(mat a, ll n) {
  mat ret = unit;
  while (n) {
    if (n & 1)  ret = ret * a;
    a = a * a;
    n >>= 1;
  }
  return ret;
}

ll q_mult(ll a, ll b, ll k) {
  ll res = 0;
  while (b) {
    if (b & 1)  res = (res + a) % k;
    a = (a + a) % k;
    b >>= 1;
  }
  return res;
}

ll q_pow(ll a, ll n, ll k) {
  ll res = 1;
  while (n) {
    if (n & 1)  res = q_mult(res, a, k);
    a = (a * a) % k;
    n >>= 1;
  }
  return res;
}

int main() {
  ios;
  init_unit();
  ll n, x, y, a, b;
  while (cin >> n >> x >> y >> a >> b) {

    a = q_pow(a % mod, b, mod);
    x = x % mod;
    y = y % mod;
    if (n == 1) {
      cout << x << endl;
    }
    else if (n == 2) {
      cout << y << endl;
    }
    else if (n == 3) {
      cout << q_mult(q_mult(x, y, mod), a % mod, mod) << endl;
    }
    else {
      mat mat_a, mat_b;
      mat_b.m[0][0] = 1, mat_b.m[0][1] = 1, mat_b.m[0][2] = 0;
      mat_b.m[1][0] = 1, mat_b.m[1][1] = 0, mat_b.m[1][2] = 1;
      mat_b.m[2][0] = 0, mat_b.m[2][1] = 0, mat_b.m[2][2] = 0;

      mat_a.m[0][0] = 1, mat_a.m[0][1] = 1, mat_a.m[0][2] = 0;

      ll z1 = (mat_a * pow_mat(mat_b, n - 4)).m[0][0];
      ll z2 = (mat_a * pow_mat(mat_b, n - 3)).m[0][0];
      ll z3 = (mat_a * pow_mat(mat_b, n - 2)).m[0][0] - 1LL;

      cout << q_mult(q_mult(q_pow(x, z1+mod-1, mod), q_pow(y, z2, mod), mod), q_pow(a % mod, z3 % (mod - 1), mod), mod) << endl;
    }
  }
}