数据结构--树和二叉树-CFANZ编程社区

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1、树

1.1、树的概念和模型

树：是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B 的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的多颗树的集合称为森林；（数据结构中的学习并查集本质就是一个森林）

1.2、树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* firstChild1;    // 第一个孩子结点
    struct Node* pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点
    DataType _data;               // 结点中的数据域
};

2、二叉树

二叉树：一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。二叉树的特点：

每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

2.1、特殊的二叉树：

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。（假设树的高度是h，前h-1层都是满的，最后一层不满，但最后一层从左往右都是满的）

2.2、二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1、二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)^ 个结点.
若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h^- 1.
对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2 ＋1
若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=LogN

2、顺序存储：

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

3、链式存储：

二叉树的链式存储结构：用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
   struct BinTreeNode* pLeft;   // 指向当前节点左孩子
   struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
   BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
   struct BinTreeNode* pParent; // 指向当前节点的双亲
   struct BinTreeNode* pLeft;   // 指向当前节点左孩子
   struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
   BTDataType _data; // 当前节点值域
}；

2.3、二叉树链式结构的遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。遍历是二叉树上最重要的运算之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

前序/中序/后序的递归结构遍历：是根据访问结点操作发生位置命名 5

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。（广度优先）

3、二叉树实现的代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>

typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode* left;
    struct BinaryTreeNode* right;
    BTDataType data;
}BTNode;

//树一般不直接遍历没有意义，就前中后序遍历
//分治递归算法

void PrevOrder(BTNode* root)//前序
{
    if (NULL == root)
    {
        printf("NULL ");
        return;
    }
    printf("%c ", root->data);
    PrevOrder(root->left);
    PrevOrder(root->right);
}
void InOrder(BTNode* root)//中序
{
    if (NULL == root)
    {
        printf("NULL ");
        return;
    }
    InOrder(root->left);
    printf("%c ", root->data);
    InOrder(root->right);
}
void PostOrder(BTNode* root)//后序
{
    if (NULL == root)
    {
        printf("NULL ");
        return;
    }
    PostOrder(root->left);
    PostOrder(root->right);
    printf("%c ", root->data);
}

//int size = 0;//方式一：定义全局变量（一般不用）
int TreeSize(BTNode* root)//求树节点的个数
{
    //if (NULL == root)
    //{
    //  return;
    //}
    //++size;
    //TreeSize(root->left);
    //TreeSize(root->right);
    //return size;

    //方式二
    return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

int TreeLeafSize(BTNode* root)//求叶子节点的个数
{
    if (NULL == root)
        return 0;
    if (NULL == root->left && NULL == root->right)
        return 1;
    return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}

int main()
{
    BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    A->data = 'A';
    A->left = NULL;
    A->right = NULL;

    BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    B->data = 'B';
    B->left = NULL;
    B->right = NULL;

    BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    C->data = 'C';
    C->left = NULL;
    C->right = NULL;

    BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    D->data = 'D';
    D->left = NULL;
    D->right = NULL;

    BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    E->data = 'E';
    E->left = NULL;
    E->right = NULL;

    A->left = B;
    A->right = C;
    B->left = D;
    B->right = E;

    PrevOrder(A);
    printf("\n");
    InOrder(A);
    printf("\n");
    PostOrder(A);
    printf("\n");

    printf("%d\n", TreeSize(A));
    printf("%d\n", TreeLeafSize(A));

    return 0;
}

//判断树是否是高度平衡的二叉树。（一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1 。）
struct TreeNode {
    int val;
    struct TreeNode* left;
    struct TreeNode* right;
};

//求树的最大深度
int maxDepth(struct TreeNode* root) {
    if (NULL == root)
        return 0;
    int leftDepth = maxDepth(root->left);
    int rightDepth = maxDepth(root->right);
    return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;
}

bool isBalanced(struct TreeNode* root)
{
    if (NULL == root)
        return true;

    int leftDepth = maxDepth(root->left);
    int rightDepth = maxDepth(root->right);
    return abs(leftDepth - rightDepth) < 2
        && isBalanced(root->left)
        && isBalanced(root->right);
}

//给你二叉树的根节点 root ，返回它节点值的 前序 遍历。
int Treesize(struct TreeNode* root)
{
    return root == NULL ? 0 : Treesize(root->left) + Treesize(root->right) + 1;
}
void PrevOrder(struct TreeNode* root, int* a, int* pi)
{
    if (NULL == root)
        return;
    a[*pi] = root->val;
    ++(*pi);
    PrevOrder(root->left, a, pi);
    PrevOrder(root->right, a, pi);
}
int* preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize) {
    int size = Treesize(root);//计算树的节点的个数
    int* a = malloc(sizeof(int) * size);
    int i = 0;
    PrevOrder(root, a, &i);
    *returnSize = size;
    return a;
}