素数与线性筛选法初级版

今天我们来学习一些关于素数和线性筛选法的知识，这类问题在ACM-ICPC中常常遇到，所以很有必要学好它。

首先，来看素数筛选的一个题。

题目：http://codeforces.com/problemset/problem/114/E

题意：给定区间

，在这个区间里有多少个素数

，使得

成立，其中

。

分析：由费马平方和定理知道，一个奇素数

能表示为两个数的平方和，那么这个奇素数一定是

型的。那么

     只需要先筛选出所有素数，然后一个一个判断即可，但是这个区间可能很大。普通的素数筛选法是用bool数

     组，占一个字节空间，这样很耗费内存，实际上在C++中有一个神器叫做bitset，它是以位为单位的。

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <bitset>

using namespace std;
const int N = 300000005;

bitset<N> prime;

void Work(int l,int r)
{
    prime.set();
    for(int i=3; i*i<=r; i+=2)
    {
        if(prime[i])
        {
            for(int j=i*i; j<=r; j += i<<1)
                prime[j] = false;
        }
    }
    int cnt = (l <=2 && 2 <= r);
    for(int i=5; i<=r; i+=4)
        if(i >= l && prime[i]) cnt++;
    cout<<cnt<<endl;
}

int main()
{
    int l, r;
    cin>>l>>r;
    Work(l,r);
    return 0;
}

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1999

题意：设

是正整数

的所有真因子之和，如果对于任何的

，

都不等于

，那么称

为不可模数。     输入一个正整数

，判断它是否是不可模数。

分析：可以先用线性筛选法求出

的每个数的真因子之和，然后再预处理。

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
const int N = 1000005;

int sum[N];
bool ok[1005];

void Init()
{
    memset(ok,0,sizeof(ok));
    for(int i=1;i<N;i++)
        for(int j=i+i;j<N;j+=i)
            sum[j] += i;
    for(int i=1;i<N;i++)
        if(sum[i] < 1005)
            ok[sum[i]] = 1;
}

int main()
{
    Init();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        if(ok[n]) puts("no");
        else puts("yes");
    }
    return 0;
}

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3823

题意：给定两个数

和

，找一个最小的

，使得

和

是两个相邻的素数，其中

。

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <bitset>

using namespace std;
const int N = 20000005;

bitset<N> prime;
int p[N];
int cnt;
bool ok[155];

void isprime()
{
    cnt = 0;
    prime.set();
    for(int i=2; i<N; i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            p[cnt++] = i;
            for(int j=i+i; j<N; j+=i)
                prime[j] = false;
        }
    }
}

int main()
{
    isprime();
    memset(ok,0,sizeof(ok));
    for(int i=1;i<cnt;i++)
    {
        if(p[i] - p[i-1] <= 150)
            ok[p[i] - p[i-1]] = 1;
    }
    int T, a, b, t = 1;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        if(a > b) swap(a, b);
        printf("Case %d: ",t++);
        if(!ok[b - a] || a == b)
        {
            puts("-1");
            continue;
        }
        int k = -1;
        for(int i=1; i<cnt; i++)
        {
            if(p[i] - p[i-1] == b - a && p[i-1] >= a)
            {
                k = i;
                break;
            }
        }
        if(k == -1) puts("-1");
        else printf("%d\n",p[k] - b);
    }
    return 0;
}

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2136

题意：给定一个数，求它的最大素因子在素数表中排列第几。

分析：由于输入很多，所以用筛选法预处理。

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
const int N = 1000005;

int Rank[N];

void Init()
{
    int cnt = 1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(Rank[i]) continue;
        for(int j=i;j<N;j+=i)
            Rank[j] = cnt;
        cnt++;
    }
}

int main()
{
    int n;
    Init();
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
        printf("%d\n",Rank[n]);
    return 0;
}

题目：http://acm.tzc.edu.cn/acmhome/problemdetail.do?&method=showdetail&id=3349

题意：给定

个正整数，范围均在

以内，对于每一个数都找出剩下的数中有多少个是它的倍数。

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
const int N = 1000005;

int cnt[N];
int a[N];
int ans[N];

void Work(int n)
{
    int max = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        cnt[a[i]]++;
        if(max < a[i])
            max = a[i];
    }
    for(int i=1; i<=max; i++)
    {
        if(cnt[i])
        {
            for(int j=i+i; j<=max; j+=i)
                ans[j] += cnt[i];
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(cnt[a[i]] > 1) printf("%d\n",ans[a[i]] + cnt[a[i]] - 1);
        else printf("%d\n",ans[a[i]]);
    }
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    Work(n);
    return 0;
}