一、前言

二、二分算法的介绍

三、二分算法的运用

前提：使用二分算法，数组一定要是有序的（单调的），不能是乱序！
因为:二分算法就是我们知道当前的候选区间中,一定存在我们要找到的答案,而且我们发现这个区间拥有单调性质此类的性质,那么我们可以不停地缩减候选区间的范围,达到排除无用答案的效果.

  当想找不满足性质的边界值
  1.找中间值 mid = (l+r+1)/2
  2.if(check(mid))等于true或者是false
  3.check(m)是检查m是在不满足性质的区间
  4.更新l或者r


  当想找满足性质的边界值
  1. 找中间值 mid = (l+r)/2
  2. if(check(mid))等于true或者是false
  check(m)是检查m是在满足性质的区间
  3. 更新l或者r

  
  归结上面的两种二分方法，步骤为：

  先写一个check函数
  判定在check的情况下（true和false的情况下），如何更新区间。
  在check(m)==true的分支下是:
  l=mid的情况，中间点的更新方式是m=(l+r+1)/2
  r=mid的情况，中间点的更新方式是m=(l+r)/2
  这种方法保证了：
  1. 最后的l==r
  2. 搜索到达的答案是闭区间的，即a[l]是满足check()条件的。

1. 整数二分模板

如下：

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

2.浮点数二分模板

浮点数二分的本质也是边界, 唯一区别是浮点数没有整除, 区间长度可以严格的缩小一半

当区间长度足够小时, 便可以认为是一个数

如下：

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求, 一般比所求精度高 2
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}