🍑前言:
☕☕学过《数据结构与算法》这门课的同学应该都知道求解最短路径的两大经典算法,“弗洛伊德”和“迪杰斯特拉”,笔者一直以为这两个高大上的算法我这种菜鸡肯定是学不会的啦,但是前两天看了看弗洛伊德算法的代码,没想到竟然如此简单!😛
🌻🌻Floyd算法是用来求解多源点最短路径问题的,算法基于动态规划实现,而且核心代码用三个for循环就能轻松搞定,代码简练,稍加理解就能轻松记住~
题目传送门:🚀🚀🚀
题目 | 链接 |
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蓝桥杯2021省赛-路径 | https://www.lanqiao.cn/problems/1460/learning/ |
LeetCode.743-网络延迟时间 | https://leetcode-cn.com/problems/network-delay-time/ |
🍋Floyd算法模板:
👩🏻🏫了解Floyd之前先要知道什么是邻接矩阵,对于有n
个节点的图,所谓矩阵其实就是二维数组graph[n][n]
,用来描述节点之间的关系。其中graph[i][j] = x
表示节点i
与节点j
之间存在一条边,边长为x
(换句话说就是从节点i
可以直接到节点j
,且距离为x
),如果i与j之间没有边,可以用graph[i][j] = 无穷大
表示;当然如果节点到节点之间的路径是双向的,graph[i][j] = graph[j][i]
。
📌构建好邻接矩阵,就可以使用Floyd算法了:
for (int k = 1; k <= n; k++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
graph[i][j] = Math.min(graph[i][j], graph[i][k] + graph[k][j];
}
}
}
📑三个for
循环加一行状态转移,最终的结果就是graph[i][j]
中存储的值代表节点i
到节点j
的最短路径。
📑Floyd本质是动态规划的过程。状态转移方程:f[k][i][j] = min(f[k-1][i][j],f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j])
,表示经过前k
个点(包括k
),从i
到j
的最小值。
📑模板中的dp
只有i
,j
两个变量,是应为k
可以进行状态压缩。
📑最终Floyd可以精简成四行代码~🍺
🍊实战演练:
👉🏻蓝桥杯2021填空题-路径:
-
求最小公倍数可以先求最大公约数(辗转相除法):
public static int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }
-
Java中的距离无穷大可以用Double型的
Double.POSITIVE_INFINITY
表示,任何数加上无穷大还是无穷大。 -
记住Floyd的三个for循环,最外层是
for (int k = 1; k <= n; k++)
,这个顺序不能更改。
🍦AC代码(Java):
import java.util.Arrays;
public class Main {
public static int gcd(int a, int b) {
return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
public static int lcm(int a, int b) {
return (a * b) / gcd(a, b);
}
public static void main(String[] args) {
final int n = 2021;
// 建立邻接矩阵
double[][] graph = new double[n + 1][n + 1];
// 距离无穷可以使用double表示
for (int i = 0; i < graph.length; i++)
Arrays.fill(graph[i], Double.POSITIVE_INFINITY);
for (int i = 1; i < graph.length; i++)
graph[i][i] = 0;
// 根据要求添入边权
for (int a = 1; a <= n; a++) {
for (int b = 1; b <= n; b++) {
if (a == b)
continue;
if (Math.abs(a - b) <= 21) {
int dis = lcm(a, b);
graph[a][b] = dis;
} else {
continue;
}
}
}
// Floyd最短路,经典三个for
for (int k = 1; k <= n; k++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
graph[i][j] = Math.min(graph[i][j], graph[i][k] + graph[k][j]);
}
}
}
// 别忘了double要cast回int
System.out.println((int)graph[1][2021]);
// 结果:10266837
}
}
👉🏻力扣743题库-网络延迟时间:
- 还是用Floyd求出任意两点间的最短路径,最后在遍历一遍
graph[k][i...n]
,找到节点k
到其他节点间最短路径的最大值。
🍦AC代码(Java):
class Solution {
public int networkDelayTime(int[][] times, int n, int K) {
int[][] graph = new int[n + 1][n + 1];
for (int[] ints : graph) {
// 这里无穷大用int型最大值表示
Arrays.fill(ints, Integer.MAX_VALUE);
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
graph[i][i] = 0;
for (int[] time : times) graph[time[0]][time[1]] = time[2];
for (int k = 1; k <= n; k++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
// 距离无穷参与运算会溢出,要手动修改
graph[i][j] = Math.min(graph[i][j], graph[i][k] + graph[k][j] < 0 ? Integer.MAX_VALUE : graph[i][k] + graph[k][j]);
}
}
}
int ans = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (graph[K][i] == Integer.MAX_VALUE)
return -1;
ans = Math.max(ans, graph[K][i]);
}
return ans;
}
}