树结构的基础部分
一、二叉树
1.为什么需要树这种数据结构
1.1 数组存储方式的分析
优点：通过下标方式访问元素，速度快。对于有序数组，还可使用二分查找提高检索速度。
缺点：如果要检索具体某个值，或者插入值(按一定顺序)会整体移动，效率较低 [示意图]
画出操作示意图：
1.2 链式存储方式的分析
优点：在一定程度上对数组存储方式有优化(比如：插入一个数值节点，只需要将插入节点，链接到链表中即可，删除效率也很好)。
缺点：在进行检索时，效率仍然较低，比如(检索某个值，需要从头节点开始遍历)
操作示意图：
1.3 树存储方式的分析
能提高数据存储，读取的效率, 比如利用 二叉排序树(Binary Sort Tree)，既可以保证数据的检索速度，同时也可以保证数据的插入，删除，修改的速度。
案例: [7, 3, 10, 1, 5, 9, 12]
2.树示意图
树的常用术语(结合示意图理解):
1.节点
2.根节点
3.父节点
4.子节点
5.叶子节点 (没有子节点的节点)
6.节点的权(节点值)
7.路径(从root节点找到该节点的路线)
8.层
9.子树
10.树的高度(最大层数)
11.森林 :多颗子树构成森林
3.二叉树的概念
- 树有很多种，每个节点最多只能有两个子节点的一种形式称为二叉树。
- 二叉树的子节点分为左节点和右节点
- 示意图
- 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层，并且结点总数= 2^n -1 , n 为层数，则我们称为满二叉树。
- 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层，而且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续，我们称为完全二叉树
4.二叉树遍历的说明
使用前序，中序和后序对下面的二叉树进行遍历.
- 前序遍历: 先输出父节点，再遍历左子树和右子树
-
中序遍历: 先遍历左子树，再输出父节点，再遍历右子树
-
后序遍历: 先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点
-
小结: 看输出父节点的顺序，就确定是前序，中序还是后序
4.1 二叉树遍历应用实例(前序,中序,后序)
代码实现
//编写前序遍历的方法
public void preOrder() {
System.out.println(this); //先输出父结点
//递归向左子树前序遍历
if(this.left != null) {
this.left.preOrder();
}
//递归向右子树前序遍历
if(this.right != null) {
this.right.preOrder();
}
}
//中序遍历
public void infixOrder() {
//递归向左子树中序遍历
if(this.left != null) {
this.left.infixOrder();
}
//输出父结点
System.out.println(this);
//递归向右子树中序遍历
if(this.right != null) {
this.right.infixOrder();
}
}
//后序遍历
public void postOrder() {
if(this.left != null) {
this.left.postOrder();
}
if(this.right != null) {
this.right.postOrder();
}
System.out.println(this);
}
测试
public class BinaryTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
//先需要创建一颗二叉树
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
//创建需要的结点
HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");
HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊义");
HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");
HeroNode node5 = new HeroNode(5, "关胜");
//说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归的方式创建二叉树
root.setLeft(node2);
root.setRight(node3);
node3.setRight(node4);
node3.setLeft(node5);
binaryTree.setRoot(root);
//测试
System.out.println("前序遍历"); // 1,2,3,5,4
binaryTree.preOrder();
//测试
System.out.println("中序遍历");
binaryTree.infixOrder(); // 2,1,5,3,4
System.out.println("后序遍历");
binaryTree.postOrder(); // 2,5,4,3,1
}
}
//定义BinaryTree 二叉树
class BinaryTree {
private HeroNode root;
public void setRoot(HeroNode root) {
this.root = root;
}
//前序遍历
public void preOrder() {
if(this.root != null) {
this.root.preOrder();
}else {
System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
}
}
//中序遍历
public void infixOrder() {
if(this.root != null) {
this.root.infixOrder();
}else {
System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
}
}
//后序遍历
public void postOrder() {
if(this.root != null) {
this.root.postOrder();
}else {
System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
}
}
}
//先创建HeroNode 结点
class HeroNode {
private int no;
private String name;
private HeroNode left; //默认null
private HeroNode right; //默认null
public HeroNode(int no, String name) {
this.no = no;
this.name = name;
}
public int getNo() {
return no;
}
public void setNo(int no) {
this.no = no;
}
public String getName() {
return name;
}
public void setName(String name) {
this.name = name;
}
public HeroNode getLeft() {
return left;
}
public void setLeft(HeroNode left) {
this.left = left;
}
public HeroNode getRight() {
return right;
}
public void setRight(HeroNode right) {
this.right = right;
}
@Override
public String toString() {
return "HeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";
}
//编写前序遍历的方法
public void preOrder() {
System.out.println(this); //先输出父结点
//递归向左子树前序遍历
if(this.left != null) {
this.left.preOrder();
}
//递归向右子树前序遍历
if(this.right != null) {
this.right.preOrder();
}
}
//中序遍历
public void infixOrder() {
//递归向左子树中序遍历
if(this.left != null) {
this.left.infixOrder();
}
//输出父结点
System.out.println(this);
//递归向右子树中序遍历
if(this.right != null) {
this.right.infixOrder();
}
}
//后序遍历
public void postOrder() {
if(this.left != null) {
this.left.postOrder();
}
if(this.right != null) {
this.right.postOrder();
}
System.out.println(this);
}
}
5.二叉树-查找指定节点
要求
- 请编写前序查找，中序查找和后序查找的方法。
- 并分别使用三种查找方式，查找 heroNO = 5 的节点
- 并分析各种查找方式，分别比较了多少次
- 思路分析图解
- 代码实现
//前序遍历查找
/**
*
* @param no 查找no
* @return 如果找到就返回该Node ,如果没有找到返回 null
*/
public HeroNode preOrderSearch(int no) {
System.out.println("进入前序遍历");
//比较当前结点是不是
if(this.no == no) {
return this;
}
//1.则判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归前序查找
//2.如果左递归前序查找，找到结点，则返回
HeroNode resNode = null;
if(this.left != null) {
resNode = this.left.preOrderSearch(no);
}
if(resNode != null) {//说明我们左子树找到
return resNode;
}
//1.左递归前序查找，找到结点，则返回，否继续判断，
//2.当前的结点的右子节点是否为空，如果不空，则继续向右递归前序查找
if(this.right != null) {
resNode = this.right.preOrderSearch(no);
}
return resNode;
}
//中序遍历查找
public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
//判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归中序查找
HeroNode resNode = null;
if(this.left != null) {
resNode = this.left.infixOrderSearch(no);
}
if(resNode != null) {
return resNode;
}
System.out.println("进入中序查找");
//如果找到，则返回，如果没有找到，就和当前结点比较，如果是则返回当前结点
if(this.no == no) {
return this;
}
//否则继续进行右递归的中序查找
if(this.right != null) {
resNode = this.right.infixOrderSearch(no);
}
return resNode;
}
//后序遍历查找
public HeroNode postOrderSearch(int no) {
//判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归后序查找
HeroNode resNode = null;
if(this.left != null) {
resNode = this.left.postOrderSearch(no);
}
if(resNode != null) {//说明在左子树找到
return resNode;
}
//如果左子树没有找到，则向右子树递归进行后序遍历查找
if(this.right != null) {
resNode = this.right.postOrderSearch(no);
}
if(resNode != null) {
return resNode;
}
System.out.println("进入后序查找");
//如果左右子树都没有找到，就比较当前结点是不是
if(this.no == no) {
return this;
}
return resNode;
}
测试
public class BinaryTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
//先需要创建一颗二叉树
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
//创建需要的结点
HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");
HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊义");
HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");
HeroNode node5 = new HeroNode(5, "关胜");
//说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归的方式创建二叉树
root.setLeft(node2);
root.setRight(node3);
node3.setRight(node4);
node3.setLeft(node5);
binaryTree.setRoot(root);
//前序遍历
//前序遍历的次数 ：4
System.out.println("前序遍历方式~~~");
HeroNode resNode = binaryTree.preOrderSearch(5);
if (resNode != null) {
System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode.getNo(), resNode.getName());
} else {
System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
}
//中序遍历查找
//中序遍历3次
System.out.println("中序遍历方式~~~");
HeroNode resNode = binaryTree.infixOrderSearch(5);
if (resNode != null) {
System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode.getNo(), resNode.getName());
} else {
System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
}
//后序遍历查找
//后序遍历查找的次数 2次
System.out.println("后序遍历方式~~~");
HeroNode resNode = binaryTree.postOrderSearch(5);
if (resNode != null) {
System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode.getNo(), resNode.getName());
} else {
System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
}
}
}
//定义BinaryTree 二叉树
class BinaryTree {
private HeroNode root;
public void setRoot(HeroNode root) {
this.root = root;
}
//前序遍历
public HeroNode preOrderSearch(int no) {
if(root != null) {
return root.preOrderSearch(no);
} else {
return null;
}
}
//中序遍历
public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
if(root != null) {
return root.infixOrderSearch(no);
}else {
return null;
}
}
//后序遍历
public HeroNode postOrderSearch(int no) {
if(root != null) {
return this.root.postOrderSearch(no);
}else {
return null;
}
}
}
//先创建HeroNode 结点
class HeroNode {
private int no;
private String name;
private HeroNode left; //默认null
private HeroNode right; //默认null
public HeroNode(int no, String name) {
this.no = no;
this.name = name;
}
public int getNo() {
return no;
}
public void setNo(int no) {
this.no = no;
}
public String getName() {
return name;
}
public void setName(String name) {
this.name = name;
}
public HeroNode getLeft() {
return left;
}
public void setLeft(HeroNode left) {
this.left = left;
}
public HeroNode getRight() {
return right;
}
public void setRight(HeroNode right) {
this.right = right;
}
@Override
public String toString() {
return "HeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";
}
//前序遍历查找
/**
*
* @param no 查找no
* @return 如果找到就返回该Node ,如果没有找到返回 null
*/
public HeroNode preOrderSearch(int no) {
System.out.println("进入前序遍历");
//比较当前结点是不是
if(this.no == no) {
return this;
}
//1.则判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归前序查找
//2.如果左递归前序查找，找到结点，则返回
HeroNode resNode = null;
if(this.left != null) {
resNode = this.left.preOrderSearch(no);
}
if(resNode != null) {//说明我们左子树找到
return resNode;
}
//1.左递归前序查找，找到结点，则返回，否继续判断，
//2.当前的结点的右子节点是否为空，如果不空，则继续向右递归前序查找
if(this.right != null) {
resNode = this.right.preOrderSearch(no);
}
return resNode;
}
//中序遍历查找
public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
//判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归中序查找
HeroNode resNode = null;
if(this.left != null) {
resNode = this.left.infixOrderSearch(no);
}
if(resNode != null) {
return resNode;
}
System.out.println("进入中序查找");
//如果找到，则返回，如果没有找到，就和当前结点比较，如果是则返回当前结点
if(this.no == no) {
return this;
}
//否则继续进行右递归的中序查找
if(this.right != null) {
resNode = this.right.infixOrderSearch(no);
}
return resNode;
}
//后序遍历查找
public HeroNode postOrderSearch(int no) {
//判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归后序查找
HeroNode resNode = null;
if(this.left != null) {
resNode = this.left.postOrderSearch(no);
}
if(resNode != null) {//说明在左子树找到
return resNode;
}
//如果左子树没有找到，则向右子树递归进行后序遍历查找
if(this.right != null) {
resNode = this.right.postOrderSearch(no);
}
if(resNode != null) {
return resNode;
}
System.out.println("进入后序查找");
//如果左右子树都没有找到，就比较当前结点是不是
if(this.no == no) {
return this;
}
return resNode;
}
}
6.二叉树-删除节点
要求
-
如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
-
如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树.
-
测试，删除掉 5 号叶子节点 和 3 号子树.
-
完成删除思路分析
- 代码实现
//删除结点
public void delNode(int no) {
if(root != null) {
//如果只有一个root结点, 这里立即判断root是不是就是要删除结点
if(root.getNo() == no) {
root = null;
} else {
//递归删除
root.delNode(no);
}
}else{
System.out.println("空树，不能删除~");
}
}
//递归删除结点
//1.如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
//2.如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树
public void delNode(int no) {
//思路
/*
* 1. 因为我们的二叉树是单向的，所以我们是判断当前结点的子结点是否需要删除结点，而不能去判断当前这个结点是不是需要删除结点.
2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
3. 如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
4. 如果第2和第3步没有删除结点，那么我们就需要向左子树进行递归删除
5. 如果第4步也没有删除结点，则应当向右子树进行递归删除.
*/
//2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
if(this.left != null && this.left.no == no) {
this.left = null;
return;
}
//3.如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
if(this.right != null && this.right.no == no) {
this.right = null;
return;
}
//4.我们就需要向左子树进行递归删除
if(this.left != null) {
this.left.delNode(no);
}
//5.则应当向右子树进行递归删除
if(this.right != null) {
this.right.delNode(no);
}
}
完整测试
public class BinaryTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
//先需要创建一颗二叉树
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
//创建需要的结点
HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");
HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊义");
HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");
HeroNode node5 = new HeroNode(5, "关胜");
//说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归的方式创建二叉树
root.setLeft(node2);
root.setRight(node3);
node3.setRight(node4);
node3.setLeft(node5);
binaryTree.setRoot(root);
//测试一把删除结点
System.out.println("删除前,前序遍历");
binaryTree.preOrder(); // 1,2,3,5,4
binaryTree.delNode(5);
//binaryTree.delNode(3);
System.out.println("删除后，前序遍历");
binaryTree.preOrder(); // 1,2,3,4
}
}
//定义BinaryTree 二叉树
class BinaryTree {
private HeroNode root;
public void setRoot(HeroNode root) {
this.root = root;
}
//删除结点
public void delNode(int no) {
if(root != null) {
//如果只有一个root结点, 这里立即判断root是不是就是要删除结点
if(root.getNo() == no) {
root = null;
} else {
//递归删除
root.delNode(no);
}
}else{
System.out.println("空树，不能删除~");
}
}
//前序遍历
public void preOrder() {
if(this.root != null) {
this.root.preOrder();
}else {
System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
}
}
}
//先创建HeroNode 结点
class HeroNode {
private int no;
private String name;
private HeroNode left; //默认null
private HeroNode right; //默认null
public HeroNode(int no, String name) {
this.no = no;
this.name = name;
}
public int getNo() {
return no;
}
public void setNo(int no) {
this.no = no;
}
public String getName() {
return name;
}
public void setName(String name) {
this.name = name;
}
public HeroNode getLeft() {
return left;
}
public void setLeft(HeroNode left) {
this.left = left;
}
public HeroNode getRight() {
return right;
}
public void setRight(HeroNode right) {
this.right = right;
}
@Override
public String toString() {
return "HeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";
}
//递归删除结点
//1.如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
//2.如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树
public void delNode(int no) {
//思路
/*
* 1. 因为我们的二叉树是单向的，所以我们是判断当前结点的子结点是否需要删除结点，而不能去判断当前这个结点是不是需要删除结点.
2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
3. 如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
4. 如果第2和第3步没有删除结点，那么我们就需要向左子树进行递归删除
5. 如果第4步也没有删除结点，则应当向右子树进行递归删除.
*/
//2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
if(this.left != null && this.left.no == no) {
this.left = null;
return;
}
//3.如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
if(this.right != null && this.right.no == no) {
this.right = null;
return;
}
//4.我们就需要向左子树进行递归删除
if(this.left != null) {
this.left.delNode(no);
}
//5.则应当向右子树进行递归删除
if(this.right != null) {
this.right.delNode(no);
}
}
//编写前序遍历的方法
public void preOrder() {
System.out.println(this); //先输出父结点
//递归向左子树前序遍历
if(this.left != null) {
this.left.preOrder();
}
//递归向右子树前序遍历
if(this.right != null) {
this.right.preOrder();
}
}
}
6.1 思考题(课后练习)
- 如果要删除的节点是非叶子节点，现在我们不希望将该非叶子节点为根节点的子树删除，需要指定规则, 假如规定如下:
- 如果该非叶子节点 A 只有一个子节点 B，则子节点 B 替代节点 A
- 如果该非叶子节点 A 有左子节点 B 和右子节点 C，则让左子节点 B 替代节点 A。
//递归删除结点
public void delNode1(int no) {
//2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
if(this.left != null && this.left.no == no) {
//为叶子节点直接删除
if(this.left.left == null && this.left.right == null) {
this.left = null;
//只有一个子节点直接替换
} else if(this.left.left != null && this.left.right == null) {
this.left = this.left.left;
}else if(this.left.left == null && this.left.right != null) {
this.left = this.left.right;
//有两个节点，左节点替换，右节点插入到左节点的最右叶子节点
}else if(this.left.left != null && this.left.right != null) {
HeroNode temp = this.left.right;
this.left = this.left.left;
HeroNode temp1 = this.left;
while (temp1.right != null){
temp1 = temp1.right;
}
temp1.right = temp;
}
return;
}
//3.如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
if(this.right != null && this.right.no == no) {
//为叶子节点直接删除
if(this.right.left == null && this.right.right == null) {
this.right = null;
//只有一个子节点直接替换
} else if(this.right.left != null && this.right.right == null) {
this.right = this.right.left;
}else if(this.right.left == null && this.right.right != null) {
this.right = this.right.right;
//有两个节点，左节点替换，右节点插入到左节点的最右叶子节点
}else if(this.right.left != null && this.right.right != null) {
HeroNode temp = this.right.right;
this.right = this.right.left;
HeroNode temp1 = this.right;
while (temp1.right != null){
temp1 = temp1.right;
}
temp1.right = temp;
}
return;
}
//4.我们就需要向左子树进行递归删除
if(this.left != null) {
this.left.delNode1(no);
}
//5.则应当向右子树进行递归删除
if(this.right != null) {
this.right.delNode1(no);
}
}
二、顺序存储二叉树
1.顺序存储二叉树的概念
1.1 基本说明
从数据存储来看，数组存储方式和树的存储方式可以相互转换，即数组可以转换成树，树也可以转换成数组，看下面的示意图。
2.顺序存储二叉树的特点:
- 顺序二叉树通常只考虑完全二叉树
- 第 n 个元素的左子节点为
2 * n + 1 - 第 n 个元素的右子节点为
2 * n + 2 - 第 n 个元素的父节点为
(n-1) / 2 - n : 表示二叉树中的第几个元素(按 0 开始编号如图所示)
3.顺序存储二叉树遍历
需求: 给你一个数组 {1,2,3,4,5,6,7}，要求以二叉树前序遍历的方式进行遍历。 前序遍历的结果应当为
1,2,4,5,3,6,7
3.1 代码实现:
public class ArrBinaryTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 };
//创建一个 ArrBinaryTree
ArrBinaryTree arrBinaryTree = new ArrBinaryTree(arr);
arrBinaryTree.preOrder(); // 1,2,4,5,3,6,7
}
}
//编写一个ArrayBinaryTree, 实现顺序存储二叉树遍历
class ArrBinaryTree {
private int[] arr;//存储数据结点的数组
public ArrBinaryTree(int[] arr) {
this.arr = arr;
}
//重载preOrder
public void preOrder() {
this.preOrder(0);
}
//编写一个方法，完成顺序存储二叉树的前序遍历
/**
*
* @param index 数组的下标
*/
public void preOrder(int index) {
//如果数组为空，或者 arr.length = 0
if(arr == null || arr.length == 0) {
System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");
}
//输出当前这个元素
System.out.println(arr[index]);
//向左递归遍历
if((index * 2 + 1) < arr.length) {
preOrder(2 * index + 1 );
}
//向右递归遍历
if((index * 2 + 2) < arr.length) {
preOrder(2 * index + 2);
}
}
}
3.2 课后练习
完成对数组以二叉树中序，后序遍历方式的代码.
//重载postOrder public void postOrder() { this.postOrder(0); System.out.println(); } //编写一个方法，完成顺序存储二叉树的后序遍历 /** * * @param index 数组的下标 */ public void postOrder(int index) { //如果数组为空，或者 arr.length = 0 if(arr == null || arr.length == 0) { System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历"); } //向左递归遍历 if(index * 2 + 1 < arr.length){ postOrder(index * 2 + 1); } //向右递归遍历 if(index * 2 + 2 < arr.length){ postOrder(index * 2 + 2); } //输出当前这个元素 System.out.print(arr[index] + " "); } //重载infixOrder public void infixOrder() { this.infixOrder(0); System.out.println(); } //编写一个方法，完成顺序存储二叉树的中序遍历 /** * * @param index 数组的下标 */ public void infixOrder(int index) { //如果数组为空，或者 arr.length = 0 if(arr == null || arr.length == 0) { System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历"); } //向左递归遍历 if((index * 2 + 1) < arr.length) { infixOrder(2 * index + 1 ); } //输出当前这个元素 System.out.print(arr[index] + " "); //向右递归遍历 if((index * 2 + 2) < arr.length) { infixOrder(2 * index + 2); } }
4.顺序存储二叉树应用实例
八大排序算法中的堆排序，就会使用到顺序存储二叉树。
三、线索化二叉树
3.1 先看一个问题
将数列 {1, 3, 6, 8, 10, 14 } 构建成一颗二叉树. n+1=7
问题分析:
- 当我们对上面的二叉树进行中序遍历时，数列为 {8, 3, 10, 1, 6, 14 }
- 但是 6, 8, 10, 14 这几个节点的 左右指针，并没有完全的利用上.
- 如果我们希望充分的利用 各个节点的左右指针， 让各个节点可以指向自己的前后节点,怎么办?
- 解决方案-线索二叉树
3.2 线索二叉树基本介绍
- n 个结点的二叉链表中含有 n+1 【公式 2n-(n-1)=n+1】 个空指针域。利用二叉链表中的空指针域，存放指向该结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的指针（这种附加的指针称为"线索"）
- 这种加上了线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树称为线索二叉树(Threaded BinaryTree)。根据线索性质的不同，线索二叉树可分为前序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树三种
- 一个结点的前一个结点，称为前驱结点
- 一个结点的后一个结点，称为后继结点
3.3 线索二叉树应用案例
应用案例说明：将下面的二叉树，进行中序线索二叉树。中序遍历的数列为 {8, 3, 10, 1, 14, 6}
3.3.1 思路分析:
中序遍历的结果：{8, 3, 10, 1, 14, 6}
3.3.2 说明:
当线索化二叉树后，Node 节点的 属性 left 和 right ，有如下情况:
- left 指向的是左子树，也可能是指向的前驱节点. 比如 ① 节点 left 指向的左子树, 而 ⑩ 节点的 left 指向的就是前驱节点.
- right 指向的是右子树，也可能是指向后继节点，比如 ① 节点 right 指向的是右子树，而⑩ 节点的 right 指向的是后继节点.
3.3.3 代码实现
//编写对二叉树进行中序线索化的方法 /** * * @param node 就是当前需要线索化的结点 */ public void threadedNodes(HeroNode node) { //如果node==null, 不能线索化 if(node == null) { return; } //(一)先线索化左子树 threadedNodes(node.getLeft()); //(二)线索化当前结点[有难度] //处理当前结点的前驱结点 //以8结点来理解 //8结点的.left = null , 8结点的.leftType = 1 if(node.getLeft() == null) { //让当前结点的左指针指向前驱结点 node.setLeft(pre); //修改当前结点的左指针的类型,指向前驱结点 node.setLeftType(1); } //处理后继结点 if (pre != null && pre.getRight() == null) { //让前驱结点的右指针指向当前结点 pre.setRight(node); //修改前驱结点的右指针类型 pre.setRightType(1); } //!!! 每处理一个结点后，让当前结点是下一个结点的前驱结点 pre = node; //(三)在线索化右子树 threadedNodes(node.getRight()); }
测试
public class ThreadedBinaryTreeDemo { public static void main(String[] args) { //测试一把中序线索二叉树的功能 HeroNode root = new HeroNode(1, "tom"); HeroNode node2 = new HeroNode(3, "jack"); HeroNode node3 = new HeroNode(6, "smith"); HeroNode node4 = new HeroNode(8, "mary"); HeroNode node5 = new HeroNode(10, "king"); HeroNode node6 = new HeroNode(14, "dim"); //二叉树，后面我们要递归创建, 现在简单处理使用手动创建 root.setLeft(node2); root.setRight(node3); node2.setLeft(node4); node2.setRight(node5); node3.setLeft(node6); //测试中序线索化 ThreadedBinaryTree threadedBinaryTree = new ThreadedBinaryTree(); threadedBinaryTree.setRoot(root); threadedBinaryTree.threadedNodes(); //测试: 以10号节点测试 HeroNode leftNode = node5.getLeft(); HeroNode rightNode = node5.getRight(); System.out.println("10号结点的前驱结点是 =" + leftNode); //3 System.out.println("10号结点的后继结点是=" + rightNode); //1 }}//定义ThreadedBinaryTree 实现了线索化功能的二叉树class ThreadedBinaryTree { private HeroNode root; //为了实现线索化，需要创建要给指向当前结点的前驱结点的指针 //在递归进行线索化时，pre 总是保留前一个结点 private HeroNode pre = null; public void setRoot(HeroNode root) { this.root = root; } //重载一把threadedNodes方法 public void threadedNodes() { this.threadedNodes(root); } //编写对二叉树进行中序线索化的方法 /** * * @param node 就是当前需要线索化的结点 */ public void threadedNodes(HeroNode node) { //如果node==null, 不能线索化 if(node == null) { return; } //(一)先线索化左子树 threadedNodes(node.getLeft()); //(二)线索化当前结点[有难度] //处理当前结点的前驱结点 //以8结点来理解 //8结点的.left = null , 8结点的.leftType = 1 if(node.getLeft() == null) { //让当前结点的左指针指向前驱结点 node.setLeft(pre); //修改当前结点的左指针的类型,指向前驱结点 node.setLeftType(1); } //处理后继结点 if (pre != null && pre.getRight() == null) { //让前驱结点的右指针指向当前结点 pre.setRight(node); //修改前驱结点的右指针类型 pre.setRightType(1); } //!!! 每处理一个结点后，让当前结点是下一个结点的前驱结点 pre = node; //(三)在线索化右子树 threadedNodes(node.getRight()); }}//先创建HeroNode 结点class HeroNode { private int no; private String name; private HeroNode left; //默认null private HeroNode right; //默认null //说明 //1. 如果leftType == 0 表示指向的是左子树, 如果 1 则表示指向前驱结点 //2. 如果rightType == 0 表示指向是右子树, 如果 1表示指向后继结点 private int leftType; private int rightType; public int getLeftType() { return leftType; } public void setLeftType(int leftType) { this.leftType = leftType; } public int getRightType() { return rightType; } public void setRightType(int rightType) { this.rightType = rightType; } public HeroNode(int no, String name) { this.no = no; this.name = name; } public int getNo() { return no; } public void setNo(int no) { this.no = no; } public String getName() { return name; } public void setName(String name) { this.name = name; } public HeroNode getLeft() { return left; } public void setLeft(HeroNode left) { this.left = left; } public HeroNode getRight() { return right; } public void setRight(HeroNode right) { this.right = right; } @Override public String toString() { return "HeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]"; } }
3.4 遍历线索化二叉树
- 说明：对前面的中序线索化的二叉树， 进行遍历
- 分析：因为线索化后，各个结点指向有变化，因此原来的遍历方式不能使用，这时需要使用新的方式遍历线索化二叉树，各个节点可以通过线型方式遍历，因此无需使用递归方式，这样也提高了遍历的效率。 遍历的次序应当和中序遍历保持一致。
- 代码：
//遍历线索化二叉树的方法 public void threadedList() { //定义一个变量，存储当前遍历的结点，从root开始 HeroNode node = root; while(node != null) { //循环的找到leftType == 1的结点，第一个找到就是8结点 //后面随着遍历而变化,因为当leftType==1时，说明该结点是按照线索化 //处理后的有效结点 while(node.getLeftType() == 0) { node = node.getLeft(); } //打印当前这个结点 System.out.println(node); //如果当前结点的右指针指向的是后继结点,就一直输出 while(node.getRightType() == 1) { //获取到当前结点的后继结点 node = node.getRight(); System.out.println(node); } //替换这个遍历的结点 node = node.getRight(); } }
课后作业：编写前序线索化二叉树和后序线索化二叉树，他们的分析思路类似
前序线索化二叉树
public void preThreadedNodes() { this.preThreadedNodes(root); }//编写对二叉树进行前序线索化的方法 public void preThreadedNodes(HeroNode node) { //如果node==null, 不能线索化 if(node == null) { return; } //处理当前结点的前驱结点 //以8结点来理解 //8结点的.left = null , 8结点的.leftType = 1 if(node.getLeft() == null) { //让当前结点的左指针指向前驱结点 node.setLeft(pre); //修改当前结点的左指针的类型,指向前驱结点 node.setLeftType(1); } //处理后继结点 if (pre != null && pre.getRight() == null) { //让前驱结点的右指针指向当前结点 pre.setRight(node); //修改前驱结点的右指针类型 pre.setRightType(1); } //!!! 每处理一个结点后，让当前结点是下一个结点的前驱结点 pre = node; if(node.getLeftType() == 0) { preThreadedNodes(node.getLeft()); } if(node.getRightType() == 0) { preThreadedNodes(node.getRight()); } }//遍历线索化二叉树的方法 public void preThreadedList() { //定义一个变量，存储当前遍历的结点，从root开始 HeroNode node = root; while(node != null) { while(node.getLeftType() == 0) { //打印当前这个结点 System.out.println(node); node = node.getLeft(); } //打印当前这个结点 System.out.println(node); node = node.getRight(); } }
后序线索化二叉树
public void postThreadedNodes(HeroNode node) { if(node == null) return; if(node.getLeftType() == 0){ postThreadedNodes(node.getLeft()); } if(node.getRightType() == 0){ postThreadedNodes(node.getRight()); } if(node.getLeft() == null){ node.setLeft(pre); node.setLeftType(1); } if(pre != null && pre.getRight() == null){ pre.setRight(node); pre.setRightType(1); } pre = node; } public void postThreadedList() { HeroNode node = root; while (node != null && node.getLeftType() == 0){ node = node.getLeft(); } HeroNode pre = null; while (node != null){ if(node.getRightType() == 1){ System.out.println(node); pre = node; node = node.getRight(); }else { if(node.getRight() == pre){ System.out.println(node); if(node == root){ return; } pre = node; node = node.getParent(); }else { node = node.getRight(); while (node != null && node.getLeftType() == 0){ node = node.getLeft(); } } } } }
