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数据结构与算法：树结构的基础部分

罗蓁蓁 2022-01-20 阅读 72
数据结构算法

树结构的基础部分

一、二叉树

1.为什么需要树这种数据结构

1.1 数组存储方式的分析

优点：通过下标方式访问元素，速度快。对于有序数组，还可使用二分查找提高检索速度。
缺点：如果要检索具体某个值，或者插入值(按一定顺序)会整体移动，效率较低 [示意图]
画出操作示意图：

在这里插入图片描述

1.2 链式存储方式的分析

优点：在一定程度上对数组存储方式有优化(比如：插入一个数值节点，只需要将插入节点，链接到链表中即可，删除效率也很好)。
缺点：在进行检索时，效率仍然较低，比如(检索某个值，需要从头节点开始遍历)
操作示意图：

在这里插入图片描述

1.3 树存储方式的分析

能提高数据存储，读取的效率, 比如利用 二叉排序树(Binary Sort Tree)，既可以保证数据的检索速度，同时也可以保证数据的插入，删除，修改的速度。
案例: [7, 3, 10, 1, 5, 9, 12]

在这里插入图片描述

2.树示意图

在这里插入图片描述

树的常用术语(结合示意图理解):
1.节点
2.根节点
3.父节点
4.子节点
5.叶子节点 (没有子节点的节点)
6.节点的权(节点值)
7.路径(从root节点找到该节点的路线)
8.层
9.子树
10.树的高度(最大层数)
11.森林 :多颗子树构成森林

3.二叉树的概念

  1. 树有很多种，每个节点最多只能有两个子节点的一种形式称为二叉树。
  2. 二叉树的子节点分为左节点和右节点
  3. 示意图

在这里插入图片描述

  1. 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层，并且结点总数= 2^n -1 , n 为层数，则我们称为满二叉树。

在这里插入图片描述

  1. 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层，而且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续，我们称为完全二叉树

在这里插入图片描述

4.二叉树遍历的说明

使用前序，中序和后序对下面的二叉树进行遍历.

  1. 前序遍历: 先输出父节点，再遍历左子树和右子树

  1. 中序遍历: 先遍历左子树，再输出父节点，再遍历右子树

  2. 后序遍历: 先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点

  3. 小结: 看输出父节点的顺序，就确定是前序，中序还是后序

4.1 二叉树遍历应用实例(前序,中序,后序)

在这里插入图片描述

代码实现

//编写前序遍历的方法
	public void preOrder() {
		System.out.println(this); //先输出父结点
		//递归向左子树前序遍历
		if(this.left != null) {
			this.left.preOrder();
		}
		//递归向右子树前序遍历
		if(this.right != null) {
			this.right.preOrder();
		}
	}
	//中序遍历
	public void infixOrder() {
		
		//递归向左子树中序遍历
		if(this.left != null) {
			this.left.infixOrder();
		}
		//输出父结点
		System.out.println(this);
		//递归向右子树中序遍历
		if(this.right != null) {
			this.right.infixOrder();
		}
	}
	//后序遍历
	public void postOrder() {
		if(this.left != null) {
			this.left.postOrder();
		}
		if(this.right != null) {
			this.right.postOrder();
		}
		System.out.println(this);
	}

测试

public class BinaryTreeDemo {

	public static void main(String[] args) {
		//先需要创建一颗二叉树
		BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
		//创建需要的结点
		HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
		HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");
		HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊义");
		HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");
		HeroNode node5 = new HeroNode(5, "关胜");
		
		//说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归的方式创建二叉树
		root.setLeft(node2);
		root.setRight(node3);
		node3.setRight(node4);
		node3.setLeft(node5);
		binaryTree.setRoot(root);
		
		//测试
		System.out.println("前序遍历"); // 1,2,3,5,4
		binaryTree.preOrder();
		
		//测试 
		System.out.println("中序遍历");
		binaryTree.infixOrder(); // 2,1,5,3,4
        		
		System.out.println("后序遍历");
		binaryTree.postOrder(); // 2,5,4,3,1
		
	}

}

//定义BinaryTree 二叉树
class BinaryTree {
	private HeroNode root;

	public void setRoot(HeroNode root) {
		this.root = root;
	}
	
	//前序遍历
	public void preOrder() {
		if(this.root != null) {
			this.root.preOrder();
		}else {
			System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
		}
	}
	
	//中序遍历
	public void infixOrder() {
		if(this.root != null) {
			this.root.infixOrder();
		}else {
			System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
		}
	}
	//后序遍历
	public void postOrder() {
		if(this.root != null) {
			this.root.postOrder();
		}else {
			System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
		}
	}
}

//先创建HeroNode 结点
class HeroNode {
	private int no;
	private String name;
	private HeroNode left; //默认null
	private HeroNode right; //默认null
	public HeroNode(int no, String name) {
		this.no = no;
		this.name = name;
	}
	public int getNo() {
		return no;
	}
	public void setNo(int no) {
		this.no = no;
	}
	public String getName() {
		return name;
	}
	public void setName(String name) {
		this.name = name;
	}
	public HeroNode getLeft() {
		return left;
	}
	public void setLeft(HeroNode left) {
		this.left = left;
	}
	public HeroNode getRight() {
		return right;
	}
	public void setRight(HeroNode right) {
		this.right = right;
	}
	@Override
	public String toString() {
		return "HeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";
	}
	
	
	//编写前序遍历的方法
	public void preOrder() {
		System.out.println(this); //先输出父结点
		//递归向左子树前序遍历
		if(this.left != null) {
			this.left.preOrder();
		}
		//递归向右子树前序遍历
		if(this.right != null) {
			this.right.preOrder();
		}
	}
	//中序遍历
	public void infixOrder() {
		
		//递归向左子树中序遍历
		if(this.left != null) {
			this.left.infixOrder();
		}
		//输出父结点
		System.out.println(this);
		//递归向右子树中序遍历
		if(this.right != null) {
			this.right.infixOrder();
		}
	}
	//后序遍历
	public void postOrder() {
		if(this.left != null) {
			this.left.postOrder();
		}
		if(this.right != null) {
			this.right.postOrder();
		}
		System.out.println(this);
	}
}

5.二叉树-查找指定节点

要求

  1. 请编写前序查找，中序查找和后序查找的方法。
  2. 并分别使用三种查找方式，查找 heroNO = 5 的节点
  3. 并分析各种查找方式，分别比较了多少次
  4. 思路分析图解

在这里插入图片描述

  1. 代码实现
	//前序遍历查找
	/**
	 * 
	 * @param no 查找no
	 * @return 如果找到就返回该Node ,如果没有找到返回 null
	 */
	public HeroNode preOrderSearch(int no) {
		System.out.println("进入前序遍历");
		//比较当前结点是不是
		if(this.no == no) {
			return this;
		}
		//1.则判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归前序查找
		//2.如果左递归前序查找，找到结点，则返回
		HeroNode resNode = null;
		if(this.left != null) {
			resNode = this.left.preOrderSearch(no);
		}
		if(resNode != null) {//说明我们左子树找到
			return resNode;
		}
		//1.左递归前序查找，找到结点，则返回，否继续判断，
		//2.当前的结点的右子节点是否为空，如果不空，则继续向右递归前序查找
		if(this.right != null) {
			resNode = this.right.preOrderSearch(no);
		}
		return resNode;
	}
	
	//中序遍历查找
	public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
		//判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归中序查找
		HeroNode resNode = null;
		if(this.left != null) {
			resNode = this.left.infixOrderSearch(no);
		}
		if(resNode != null) {
			return resNode;
		}
		System.out.println("进入中序查找");
		//如果找到，则返回，如果没有找到，就和当前结点比较，如果是则返回当前结点
		if(this.no == no) {
			return this;
		}
		//否则继续进行右递归的中序查找
		if(this.right != null) {
			resNode = this.right.infixOrderSearch(no);
		}
		return resNode;
		
	}
	
	//后序遍历查找
	public HeroNode postOrderSearch(int no) {
		
		//判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归后序查找
		HeroNode resNode = null;
		if(this.left != null) {
			resNode = this.left.postOrderSearch(no);
		}
		if(resNode != null) {//说明在左子树找到
			return resNode;
		}
		
		//如果左子树没有找到，则向右子树递归进行后序遍历查找
		if(this.right != null) {
			resNode = this.right.postOrderSearch(no);
		}
		if(resNode != null) {
			return resNode;
		}
		System.out.println("进入后序查找");
		//如果左右子树都没有找到，就比较当前结点是不是
		if(this.no == no) {
			return this;
		}
		return resNode;
	}

测试

public class BinaryTreeDemo {

	public static void main(String[] args) {
		//先需要创建一颗二叉树
		BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
		//创建需要的结点
		HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
		HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");
		HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊义");
		HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");
		HeroNode node5 = new HeroNode(5, "关胜");
		
		//说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归的方式创建二叉树
		root.setLeft(node2);
		root.setRight(node3);
		node3.setRight(node4);
		node3.setLeft(node5);
		binaryTree.setRoot(root);
		
		//前序遍历
		//前序遍历的次数 ：4 
		System.out.println("前序遍历方式~~~");
		HeroNode resNode = binaryTree.preOrderSearch(5);
		if (resNode != null) {
			System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode.getNo(), resNode.getName());
		} else {
			System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
		}
		
		//中序遍历查找
		//中序遍历3次
		System.out.println("中序遍历方式~~~");
		HeroNode resNode = binaryTree.infixOrderSearch(5);
		if (resNode != null) {
			System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode.getNo(), resNode.getName());
		} else {
			System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
		}
		
		//后序遍历查找
		//后序遍历查找的次数  2次
		System.out.println("后序遍历方式~~~");
		HeroNode resNode = binaryTree.postOrderSearch(5);
		if (resNode != null) {
			System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode.getNo(), resNode.getName());
		} else {
			System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
		}

	}

}

//定义BinaryTree 二叉树
class BinaryTree {
	private HeroNode root;

	public void setRoot(HeroNode root) {
		this.root = root;
	}
	
	//前序遍历
	public HeroNode preOrderSearch(int no) {
		if(root != null) {
			return root.preOrderSearch(no);
		} else {
			return null;
		}
	}
	//中序遍历
	public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
		if(root != null) {
			return root.infixOrderSearch(no);
		}else {
			return null;
		}
	}
	//后序遍历
	public HeroNode postOrderSearch(int no) {
		if(root != null) {
			return this.root.postOrderSearch(no);
		}else {
			return null;
		}
	}
}

//先创建HeroNode 结点
class HeroNode {
	private int no;
	private String name;
	private HeroNode left; //默认null
	private HeroNode right; //默认null
	public HeroNode(int no, String name) {
		this.no = no;
		this.name = name;
	}
	public int getNo() {
		return no;
	}
	public void setNo(int no) {
		this.no = no;
	}
	public String getName() {
		return name;
	}
	public void setName(String name) {
		this.name = name;
	}
	public HeroNode getLeft() {
		return left;
	}
	public void setLeft(HeroNode left) {
		this.left = left;
	}
	public HeroNode getRight() {
		return right;
	}
	public void setRight(HeroNode right) {
		this.right = right;
	}
	@Override
	public String toString() {
		return "HeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";
	}
	
	
	//前序遍历查找
	/**
	 * 
	 * @param no 查找no
	 * @return 如果找到就返回该Node ,如果没有找到返回 null
	 */
	public HeroNode preOrderSearch(int no) {
		System.out.println("进入前序遍历");
		//比较当前结点是不是
		if(this.no == no) {
			return this;
		}
		//1.则判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归前序查找
		//2.如果左递归前序查找，找到结点，则返回
		HeroNode resNode = null;
		if(this.left != null) {
			resNode = this.left.preOrderSearch(no);
		}
		if(resNode != null) {//说明我们左子树找到
			return resNode;
		}
		//1.左递归前序查找，找到结点，则返回，否继续判断，
		//2.当前的结点的右子节点是否为空，如果不空，则继续向右递归前序查找
		if(this.right != null) {
			resNode = this.right.preOrderSearch(no);
		}
		return resNode;
	}
	
	//中序遍历查找
	public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
		//判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归中序查找
		HeroNode resNode = null;
		if(this.left != null) {
			resNode = this.left.infixOrderSearch(no);
		}
		if(resNode != null) {
			return resNode;
		}
		System.out.println("进入中序查找");
		//如果找到，则返回，如果没有找到，就和当前结点比较，如果是则返回当前结点
		if(this.no == no) {
			return this;
		}
		//否则继续进行右递归的中序查找
		if(this.right != null) {
			resNode = this.right.infixOrderSearch(no);
		}
		return resNode;
		
	}
	
	//后序遍历查找
	public HeroNode postOrderSearch(int no) {
		
		//判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归后序查找
		HeroNode resNode = null;
		if(this.left != null) {
			resNode = this.left.postOrderSearch(no);
		}
		if(resNode != null) {//说明在左子树找到
			return resNode;
		}
		
		//如果左子树没有找到，则向右子树递归进行后序遍历查找
		if(this.right != null) {
			resNode = this.right.postOrderSearch(no);
		}
		if(resNode != null) {
			return resNode;
		}
		System.out.println("进入后序查找");
		//如果左右子树都没有找到，就比较当前结点是不是
		if(this.no == no) {
			return this;
		}
		return resNode;
	}
	
}

6.二叉树-删除节点

要求

  1. 如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点

  2. 如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树.

  3. 测试，删除掉 5 号叶子节点 和 3 号子树.

  4. 完成删除思路分析

在这里插入图片描述

  1. 代码实现
	//删除结点
	public void delNode(int no) {
		if(root != null) {
			//如果只有一个root结点, 这里立即判断root是不是就是要删除结点
			if(root.getNo() == no) {
				root = null;
			} else {
				//递归删除
				root.delNode(no);
			}
		}else{
			System.out.println("空树，不能删除~");
		}
	}


//递归删除结点
	//1.如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
	//2.如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树
	public void delNode(int no) {
		
		//思路
		/*
		 * 	1. 因为我们的二叉树是单向的，所以我们是判断当前结点的子结点是否需要删除结点，而不能去判断当前这个结点是不是需要删除结点.
			2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
			3. 如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
			4. 如果第2和第3步没有删除结点，那么我们就需要向左子树进行递归删除
			5.  如果第4步也没有删除结点，则应当向右子树进行递归删除.

		 */
		//2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
		if(this.left != null && this.left.no == no) {
			this.left = null;
			return;
		}
		//3.如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
		if(this.right != null && this.right.no == no) {
			this.right = null;
			return;
		}
		//4.我们就需要向左子树进行递归删除
		if(this.left != null) {
			this.left.delNode(no);
		}
		//5.则应当向右子树进行递归删除
		if(this.right != null) {
			this.right.delNode(no);
		}
	}

完整测试

public class BinaryTreeDemo {

	public static void main(String[] args) {
		//先需要创建一颗二叉树
		BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
		//创建需要的结点
		HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
		HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");
		HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊义");
		HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");
		HeroNode node5 = new HeroNode(5, "关胜");
		
		//说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归的方式创建二叉树
		root.setLeft(node2);
		root.setRight(node3);
		node3.setRight(node4);
		node3.setLeft(node5);
		binaryTree.setRoot(root);
		
		//测试一把删除结点
		
		System.out.println("删除前,前序遍历");
		binaryTree.preOrder(); //  1,2,3,5,4
		binaryTree.delNode(5);
		//binaryTree.delNode(3);
		System.out.println("删除后，前序遍历");
		binaryTree.preOrder(); // 1,2,3,4
	}

}

//定义BinaryTree 二叉树
class BinaryTree {
	private HeroNode root;

	public void setRoot(HeroNode root) {
		this.root = root;
	}
	
	//删除结点
	public void delNode(int no) {
		if(root != null) {
			//如果只有一个root结点, 这里立即判断root是不是就是要删除结点
			if(root.getNo() == no) {
				root = null;
			} else {
				//递归删除
				root.delNode(no);
			}
		}else{
			System.out.println("空树，不能删除~");
		}
	}
	//前序遍历
	public void preOrder() {
		if(this.root != null) {
			this.root.preOrder();
		}else {
			System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
		}
	}
	
}

//先创建HeroNode 结点
class HeroNode {
	private int no;
	private String name;
	private HeroNode left; //默认null
	private HeroNode right; //默认null
	public HeroNode(int no, String name) {
		this.no = no;
		this.name = name;
	}
	public int getNo() {
		return no;
	}
	public void setNo(int no) {
		this.no = no;
	}
	public String getName() {
		return name;
	}
	public void setName(String name) {
		this.name = name;
	}
	public HeroNode getLeft() {
		return left;
	}
	public void setLeft(HeroNode left) {
		this.left = left;
	}
	public HeroNode getRight() {
		return right;
	}
	public void setRight(HeroNode right) {
		this.right = right;
	}
	@Override
	public String toString() {
		return "HeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";
	}
	
	//递归删除结点
	//1.如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
	//2.如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树
	public void delNode(int no) {
		
		//思路
		/*
		 * 	1. 因为我们的二叉树是单向的，所以我们是判断当前结点的子结点是否需要删除结点，而不能去判断当前这个结点是不是需要删除结点.
			2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
			3. 如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
			4. 如果第2和第3步没有删除结点，那么我们就需要向左子树进行递归删除
			5.  如果第4步也没有删除结点，则应当向右子树进行递归删除.

		 */
		//2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
		if(this.left != null && this.left.no == no) {
			this.left = null;
			return;
		}
		//3.如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
		if(this.right != null && this.right.no == no) {
			this.right = null;
			return;
		}
		//4.我们就需要向左子树进行递归删除
		if(this.left != null) {
			this.left.delNode(no);
		}
		//5.则应当向右子树进行递归删除
		if(this.right != null) {
			this.right.delNode(no);
		}
	}
	
	//编写前序遍历的方法
	public void preOrder() {
		System.out.println(this); //先输出父结点
		//递归向左子树前序遍历
		if(this.left != null) {
			this.left.preOrder();
		}
		//递归向右子树前序遍历
		if(this.right != null) {
			this.right.preOrder();
		}
	}
}

6.1 思考题(课后练习)

  1. 如果要删除的节点是非叶子节点，现在我们不希望将该非叶子节点为根节点的子树删除，需要指定规则, 假如规定如下:
  2. 如果该非叶子节点 A 只有一个子节点 B，则子节点 B 替代节点 A
  3. 如果该非叶子节点 A 有左子节点 B 和右子节点 C，则让左子节点 B 替代节点 A。
	//递归删除结点
	public void delNode1(int no) {
		//2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
		if(this.left != null && this.left.no == no) {
            //为叶子节点直接删除
			if(this.left.left == null && this.left.right == null) {
				this.left = null;
                
            //只有一个子节点直接替换
			} else if(this.left.left != null && this.left.right == null) {
				this.left = this.left.left;
			}else if(this.left.left == null && this.left.right != null) {
				this.left = this.left.right;
                
    		//有两个节点，左节点替换，右节点插入到左节点的最右叶子节点
			}else if(this.left.left != null && this.left.right != null) {
				HeroNode temp = this.left.right;
				this.left = this.left.left;
				HeroNode temp1 = this.left;
				while (temp1.right != null){
					temp1 = temp1.right;
				}
				temp1.right = temp;
			}
			return;
		}
		//3.如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
		if(this.right != null && this.right.no == no) {
            //为叶子节点直接删除
			if(this.right.left == null && this.right.right == null) {
				this.right = null;
                
            //只有一个子节点直接替换
			} else if(this.right.left != null && this.right.right == null) {
				this.right = this.right.left;
			}else if(this.right.left == null && this.right.right != null) {
				this.right = this.right.right;
                
            //有两个节点，左节点替换，右节点插入到左节点的最右叶子节点
			}else if(this.right.left != null && this.right.right != null) {
				HeroNode temp = this.right.right;
				this.right = this.right.left;
				HeroNode temp1 = this.right;
				while (temp1.right != null){
					temp1 = temp1.right;
				}
				temp1.right = temp;
			}
			return;
		}
		//4.我们就需要向左子树进行递归删除
		if(this.left != null) {
			this.left.delNode1(no);
		}
		//5.则应当向右子树进行递归删除
		if(this.right != null) {
			this.right.delNode1(no);
		}
	}

二、顺序存储二叉树

1.顺序存储二叉树的概念

1.1 基本说明

从数据存储来看，数组存储方式和树的存储方式可以相互转换，即数组可以转换成树，树也可以转换成数组，看下面的示意图。

在这里插入图片描述

2.顺序存储二叉树的特点:

  1. 顺序二叉树通常只考虑完全二叉树
  2. 第 n 个元素的左子节点为 2 * n + 1
  3. 第 n 个元素的右子节点为 2 * n + 2
  4. 第 n 个元素的父节点为 (n-1) / 2
  5. n : 表示二叉树中的第几个元素(按 0 开始编号如图所示)

3.顺序存储二叉树遍历

需求: 给你一个数组 {1,2,3,4,5,6,7}，要求以二叉树前序遍历的方式进行遍历。 前序遍历的结果应当为
1,2,4,5,3,6,7

3.1 代码实现:

public class ArrBinaryTreeDemo {

	public static void main(String[] args) {
		int[] arr = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 };
		//创建一个 ArrBinaryTree
		ArrBinaryTree arrBinaryTree = new ArrBinaryTree(arr);
		arrBinaryTree.preOrder(); // 1,2,4,5,3,6,7
	}

}

//编写一个ArrayBinaryTree, 实现顺序存储二叉树遍历

class ArrBinaryTree {
	private int[] arr;//存储数据结点的数组

	public ArrBinaryTree(int[] arr) {
		this.arr = arr;
	}
	
	//重载preOrder
	public void preOrder() {
		this.preOrder(0);
	}
	
	//编写一个方法，完成顺序存储二叉树的前序遍历
	/**
	 * 
	 * @param index 数组的下标 
	 */
	public void preOrder(int index) {
		//如果数组为空，或者 arr.length = 0
		if(arr == null || arr.length == 0) {
			System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");
		}
		//输出当前这个元素
		System.out.println(arr[index]); 
		//向左递归遍历
		if((index * 2 + 1) < arr.length) {
			preOrder(2 * index + 1 );
		}
		//向右递归遍历
		if((index * 2 + 2) < arr.length) {
			preOrder(2 * index + 2);
		}
	}
	
}

3.2 课后练习

完成对数组以二叉树中序，后序遍历方式的代码.

//重载postOrder	public void postOrder() {		this.postOrder(0);		System.out.println();	}	//编写一个方法，完成顺序存储二叉树的后序遍历	/**	 *	 * @param index 数组的下标	 */	public void postOrder(int index) {		//如果数组为空，或者 arr.length = 0		if(arr == null || arr.length == 0) {			System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");		}		//向左递归遍历		if(index * 2 + 1 < arr.length){			postOrder(index * 2 + 1);		}		//向右递归遍历		if(index * 2 + 2 < arr.length){			postOrder(index * 2 + 2);		}		//输出当前这个元素		System.out.print(arr[index] + " ");	}	//重载infixOrder	public void infixOrder() {		this.infixOrder(0);		System.out.println();	}	//编写一个方法，完成顺序存储二叉树的中序遍历	/**	 *	 * @param index 数组的下标	 */	public void infixOrder(int index) {		//如果数组为空，或者 arr.length = 0		if(arr == null || arr.length == 0) {			System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");		}		//向左递归遍历		if((index * 2 + 1) < arr.length) {			infixOrder(2 * index + 1 );		}		//输出当前这个元素		System.out.print(arr[index] + " ");		//向右递归遍历		if((index * 2 + 2) < arr.length) {			infixOrder(2 * index + 2);		}	}

4.顺序存储二叉树应用实例

八大排序算法中的堆排序，就会使用到顺序存储二叉树。

三、线索化二叉树

3.1 先看一个问题

将数列 {1, 3, 6, 8, 10, 14 } 构建成一颗二叉树. n+1=7

在这里插入图片描述

问题分析:

  1. 当我们对上面的二叉树进行中序遍历时，数列为 {8, 3, 10, 1, 6, 14 }
  2. 但是 6, 8, 10, 14 这几个节点的 左右指针，并没有完全的利用上.
  3. 如果我们希望充分的利用 各个节点的左右指针， 让各个节点可以指向自己的前后节点,怎么办?
  4. 解决方案-线索二叉树

3.2 线索二叉树基本介绍

  1. n 个结点的二叉链表中含有 n+1 【公式 2n-(n-1)=n+1】 个空指针域。利用二叉链表中的空指针域，存放指向该结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的指针（这种附加的指针称为"线索"）
  2. 这种加上了线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树称为线索二叉树(Threaded BinaryTree)。根据线索性质的不同，线索二叉树可分为前序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树三种
  3. 一个结点的前一个结点，称为前驱结点
  4. 一个结点的后一个结点，称为后继结点

3.3 线索二叉树应用案例

应用案例说明：将下面的二叉树，进行中序线索二叉树。中序遍历的数列为 {8, 3, 10, 1, 14, 6}

在这里插入图片描述

3.3.1 思路分析:

中序遍历的结果：{8, 3, 10, 1, 14, 6}

在这里插入图片描述

3.3.2 说明:

当线索化二叉树后，Node 节点的 属性 left 和 right ，有如下情况:

  1. left 指向的是左子树，也可能是指向的前驱节点. 比如 ① 节点 left 指向的左子树, 而 ⑩ 节点的 left 指向的就是前驱节点.
  2. right 指向的是右子树，也可能是指向后继节点，比如 ① 节点 right 指向的是右子树，而⑩ 节点的 right 指向的是后继节点.

3.3.3 代码实现

//编写对二叉树进行中序线索化的方法	/**	 * 	 * @param node 就是当前需要线索化的结点	 */	public void threadedNodes(HeroNode node) {				//如果node==null, 不能线索化		if(node == null) {			return;		}				//(一)先线索化左子树		threadedNodes(node.getLeft());		//(二)线索化当前结点[有难度]				//处理当前结点的前驱结点		//以8结点来理解		//8结点的.left = null , 8结点的.leftType = 1		if(node.getLeft() == null) {			//让当前结点的左指针指向前驱结点 			node.setLeft(pre); 			//修改当前结点的左指针的类型,指向前驱结点			node.setLeftType(1);		}				//处理后继结点		if (pre != null && pre.getRight() == null) {			//让前驱结点的右指针指向当前结点			pre.setRight(node);			//修改前驱结点的右指针类型			pre.setRightType(1);		}		//!!! 每处理一个结点后，让当前结点是下一个结点的前驱结点		pre = node;				//(三)在线索化右子树		threadedNodes(node.getRight());					}

测试

public class ThreadedBinaryTreeDemo {	public static void main(String[] args) {		//测试一把中序线索二叉树的功能		HeroNode root = new HeroNode(1, "tom");		HeroNode node2 = new HeroNode(3, "jack");		HeroNode node3 = new HeroNode(6, "smith");		HeroNode node4 = new HeroNode(8, "mary");		HeroNode node5 = new HeroNode(10, "king");		HeroNode node6 = new HeroNode(14, "dim");				//二叉树，后面我们要递归创建, 现在简单处理使用手动创建		root.setLeft(node2);		root.setRight(node3);		node2.setLeft(node4);		node2.setRight(node5);		node3.setLeft(node6);				//测试中序线索化		ThreadedBinaryTree threadedBinaryTree = new ThreadedBinaryTree();		threadedBinaryTree.setRoot(root);		threadedBinaryTree.threadedNodes();				//测试: 以10号节点测试		HeroNode leftNode = node5.getLeft();		HeroNode rightNode = node5.getRight();		System.out.println("10号结点的前驱结点是 ="  + leftNode); //3		System.out.println("10号结点的后继结点是="  + rightNode); //1			}}//定义ThreadedBinaryTree 实现了线索化功能的二叉树class ThreadedBinaryTree {	private HeroNode root;		//为了实现线索化，需要创建要给指向当前结点的前驱结点的指针	//在递归进行线索化时，pre 总是保留前一个结点	private HeroNode pre = null;	public void setRoot(HeroNode root) {		this.root = root;	}		//重载一把threadedNodes方法	public void threadedNodes() {		this.threadedNodes(root);	}			//编写对二叉树进行中序线索化的方法	/**	 * 	 * @param node 就是当前需要线索化的结点	 */	public void threadedNodes(HeroNode node) {				//如果node==null, 不能线索化		if(node == null) {			return;		}				//(一)先线索化左子树		threadedNodes(node.getLeft());		//(二)线索化当前结点[有难度]				//处理当前结点的前驱结点		//以8结点来理解		//8结点的.left = null , 8结点的.leftType = 1		if(node.getLeft() == null) {			//让当前结点的左指针指向前驱结点 			node.setLeft(pre); 			//修改当前结点的左指针的类型,指向前驱结点			node.setLeftType(1);		}				//处理后继结点		if (pre != null && pre.getRight() == null) {			//让前驱结点的右指针指向当前结点			pre.setRight(node);			//修改前驱结点的右指针类型			pre.setRightType(1);		}		//!!! 每处理一个结点后，让当前结点是下一个结点的前驱结点		pre = node;				//(三)在线索化右子树		threadedNodes(node.getRight());					}}//先创建HeroNode 结点class HeroNode {	private int no;	private String name;	private HeroNode left; //默认null	private HeroNode right; //默认null	//说明	//1. 如果leftType == 0 表示指向的是左子树, 如果 1 则表示指向前驱结点	//2. 如果rightType == 0 表示指向是右子树, 如果 1表示指向后继结点	private int leftType;	private int rightType;			public int getLeftType() {		return leftType;	}	public void setLeftType(int leftType) {		this.leftType = leftType;	}	public int getRightType() {		return rightType;	}	public void setRightType(int rightType) {		this.rightType = rightType;	}	public HeroNode(int no, String name) {		this.no = no;		this.name = name;	}	public int getNo() {		return no;	}	public void setNo(int no) {		this.no = no;	}	public String getName() {		return name;	}	public void setName(String name) {		this.name = name;	}	public HeroNode getLeft() {		return left;	}	public void setLeft(HeroNode left) {		this.left = left;	}	public HeroNode getRight() {		return right;	}	public void setRight(HeroNode right) {		this.right = right;	}	@Override	public String toString() {		return "HeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";	}	}

3.4 遍历线索化二叉树

  1. 说明：对前面的中序线索化的二叉树， 进行遍历
  2. 分析：因为线索化后，各个结点指向有变化，因此原来的遍历方式不能使用，这时需要使用新的方式遍历线索化二叉树，各个节点可以通过线型方式遍历，因此无需使用递归方式，这样也提高了遍历的效率。 遍历的次序应当和中序遍历保持一致。
  3. 代码：
	//遍历线索化二叉树的方法	public void threadedList() {		//定义一个变量，存储当前遍历的结点，从root开始		HeroNode node = root;		while(node != null) {			//循环的找到leftType == 1的结点，第一个找到就是8结点			//后面随着遍历而变化,因为当leftType==1时，说明该结点是按照线索化			//处理后的有效结点			while(node.getLeftType() == 0) {				node = node.getLeft();			}						//打印当前这个结点			System.out.println(node);			//如果当前结点的右指针指向的是后继结点,就一直输出			while(node.getRightType() == 1) {				//获取到当前结点的后继结点				node = node.getRight();				System.out.println(node);			}			//替换这个遍历的结点			node = node.getRight();					}	}

课后作业：编写前序线索化二叉树和后序线索化二叉树，他们的分析思路类似

前序线索化二叉树

	public void preThreadedNodes() {		this.preThreadedNodes(root);	}//编写对二叉树进行前序线索化的方法	public void preThreadedNodes(HeroNode node) {		//如果node==null, 不能线索化		if(node == null) {			return;		}		//处理当前结点的前驱结点		//以8结点来理解		//8结点的.left = null , 8结点的.leftType = 1		if(node.getLeft() == null) {			//让当前结点的左指针指向前驱结点			node.setLeft(pre);			//修改当前结点的左指针的类型,指向前驱结点			node.setLeftType(1);		}		//处理后继结点		if (pre != null && pre.getRight() == null) {			//让前驱结点的右指针指向当前结点			pre.setRight(node);			//修改前驱结点的右指针类型			pre.setRightType(1);		}		//!!! 每处理一个结点后，让当前结点是下一个结点的前驱结点		pre = node;		if(node.getLeftType() == 0) {			preThreadedNodes(node.getLeft());		}		if(node.getRightType() == 0) {			preThreadedNodes(node.getRight());		}	}//遍历线索化二叉树的方法	public void preThreadedList() {		//定义一个变量，存储当前遍历的结点，从root开始		HeroNode node = root;		while(node != null) {			while(node.getLeftType() == 0) {				//打印当前这个结点				System.out.println(node);				node = node.getLeft();			}			//打印当前这个结点			System.out.println(node);			node = node.getRight();		}	}

后序线索化二叉树

	public void postThreadedNodes(HeroNode node) {		if(node == null) return;		if(node.getLeftType() == 0){			postThreadedNodes(node.getLeft());		}		if(node.getRightType() == 0){			postThreadedNodes(node.getRight());		}		if(node.getLeft() == null){			node.setLeft(pre);			node.setLeftType(1);		}		if(pre != null && pre.getRight() == null){			pre.setRight(node);			pre.setRightType(1);		}		pre = node;	}	public void postThreadedList() {		HeroNode node = root;		while (node != null && node.getLeftType() == 0){			node = node.getLeft();		}		HeroNode pre = null;		while (node != null){			if(node.getRightType() == 1){				System.out.println(node);				pre = node;				node = node.getRight();			}else {				if(node.getRight() == pre){					System.out.println(node);					if(node == root){						return;					}					pre = node;					node = node.getParent();				}else {					node = node.getRight();					while (node != null && node.getLeftType() == 0){						node = node.getLeft();					}				}			}		}	}
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