程序员的算法课（13）-分治法-CFANZ编程社区

一、什么是分治

【百度百科】分治法（(Divide and Conquer)）可以通俗的解释为：把一片领土分解，分解为若干块小部分，然后一块块地占领征服，被分解的可以是不同的政治派别或是其他什么，然后让他们彼此异化。

分治法的精髓：

分--将问题分解为规模更小的子问题；
治--将这些规模更小的子问题逐个击破；
合--将已解决的子问题合并，最终得出“母”问题的解；

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……

大白话：大事化小，小事化了。

二、分治法能解决的问题特征

该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

大白话：简单问题分治法，复杂问题贪心法或动态规划，是否简单看上面的四个特征↑。

PS:大数据中运用分治法非常多，通常会把大问题分解成相同的小问题，后面我们再慢慢聊。

三、分治法解法

由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就可以使用递归技术来解决。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

这样，我们就把分治法化为了怎么进行递归。

1.求解递归式的三种方法

这三种方法分别是：代入法，递归树法，和主方法。代入法是一种十分强大的方法，它几乎可以求解所有的递归式。然而，对于一些“小鸡”来说，不需要这么强大的“牛刀”。对于一些特定类型的递归式（具体类型在主方法的小节中会介绍），用主方法可以用更少的时间得到一个更确切的界。

2.分治法在每一层递归上都有三个步骤：

分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；
合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

3.它的一般的算法设计模式如下：

1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题
7. return(T)

四、分治法实现最近对问题（JAVA）

题目：假设所有点都在集合S中。

用S中个点坐标的中位数作为分割点，则会得到一个平衡的分割点m，使得子集S1,S2中有个数大致相同的点。
选取垂直线x=c（中位线）来作为分割线。
递归地求出S1和S2中的最近对，假设D1、D2是最近距离。
距离最近的点，可能在线的俩边，所以，我们需要在以x=c为对称的、宽度为2D的（D为D1、D2中的最小值）的垂直带中。
在该范围中递归得出最近距离。

import java.util.*;
public class S2_4 {
  public static void main(String[] args) {
    Scanner s=new Scanner(System.in);
    int x=0,x1=0,x2=0,x3=0,x4=0;
    int y=0,y1=0,y2=0;
    double dis1=0,dis2=0;
 
    System.out.print("输入需要生成多少个随机点N：");
    int n=s.nextInt();
    int A[][]=new int[n][2];
    int B[][]=new int[n][2];
    int C[][]=new int[n][2];
    int D[][]=new int[n][2];
    for(int i=0;i<n;i++) {
      A[i][0]=(int)(Math.random()*100)+1;//生成100以内的随机数,放入横坐标
    }
    for(int i=0;i<n;i++) {
      A[i][1]=(int)(Math.random()*100)+1;//生成100以内的随机数,放入纵坐标
    }
    for(int i=0;i<n;i++) {
      System.out.println("("+A[i][0]+","+A[i][1]+")");
    }
    
    int minX = (int) Double.POSITIVE_INFINITY;    //保证假设的初始最小值足够大   
    int maxX = (int) Double.NEGATIVE_INFINITY;    //保证假设的初始最大值足够小   
    for(int i = 0; i < A.length; i++){      
      if(A[i][0] < minX)        
        minX = A[i][0];      
      if(A[i][0] > maxX)        
        maxX = A[i][0];    
      }    
    int mid = (minX + maxX)/2;
  
    int p=0,t=0;
    for(int i=0;i<n;i++) {   //将x坐标分成俩个部分
      if(A[i][0]<=mid) {      
        B[p][0]=A[i][0];
        B[p][1]=A[i][1];
        p++;
      }
      else {
        C[t][0]=A[i][0];
        C[t][1]=A[i][1];
        t++;
      }
    }
    
    int d1=(int) Double.POSITIVE_INFINITY,d2=(int) Double.POSITIVE_INFINITY;  //设置俩边的距离最小值为较大的数值
    int dx=0,dy=0,dz=0;
    for(int i=0;i<=p-2;i++)    //得出d1的值
      for(int j=i+1;j<=p-1;j++) {
        dx=(B[j][0]-B[i][0])*(B[j][0]-B[i][0])+(B[j][1]-B[i][1])*(B[j][1]-B[i][1]);
        if(dx<d1) {
          d1=dx;
          x1=i;  //记录俩个点的坐标
          x2=j;
        }
      }
    
    for(int i=0;i<=t-2;i++)    //得出d2的值
      for(int j=i+1;j<=t-1;j++) {
        dy=(C[j][0]-C[i][0])*(C[j][0]-C[i][0])+(C[j][1]-C[i][1])*(C[j][1]-C[i][1]);
        if(dy<d2) {
          d2=dy;
          x3=i;  //记录俩个点的坐标
          x4=j;
        }
      }
    System.out.println("mid="+mid+" "+"d1="+d1+" "+"d2="+d2);
    
    if(d1<d2) {
      dz=d1;
      dis1=Math.sqrt(dz);
      System.out.println("x坐标中的最小距离的俩个点为："+A[x1][0]+","+A[x1][1]+" "+A[x2][0]+","+A[x2][1]);
      System.out.println("最小距离为："+dis1);
      x=x1;
      y=x2;
    }else {
      dz=d2;
      dis1=Math.sqrt(dz);
      System.out.println("x坐标中的最小距离的俩个点为："+A[x3][0]+","+A[x3][1]+" "+A[x4][0]+","+A[x4][1]);
      System.out.println("最小距离为："+dis1);
      x=x3;
      y=x4;
    }
    
    int q=0;
    for(int i=0;i<n;i++) {
      if((mid-dis1)<=A[i][0] && A[i][0]<=(mid+dis1)) {  //中心线左右俩边的最小距离内寻找俩边的最近点
        D[q][0]=A[i][0];
        D[q][1]=A[i][1];
        q++;
  }
  }
      double mind=Double.POSITIVE_INFINITY;//mind设置为正无穷大，作为比较值
      double dis=0;
      for(int k=0;k<=q-2;k++)
        for(int j=k+1;j<=q-1;j++) {
          dis=(D[j][0]-D[k][0])*(D[j][0]-D[k][0])+(D[j][1]-D[k][1])*(D[j][1]-D[k][1]);
          if(dis<mind) {
            mind=dis;
            y1=k;  //记录俩个点的坐标
            y2=j;
          }
        }
      dis2=Math.sqrt(mind);
      System.out.println("dis1="+dis1+" "+"dis2="+dis2);
      
      if(dis1<dis2) {
        System.out.println("最小距离为："+dis1);
        System.out.print("俩个点分别为："+"("+A[x][0]+","+A[x][1]+")");
        System.out.println(" "+"("+A[y][0]+","+A[y][1]+")" );
      }else {
        System.out.println("最小距离为："+dis2);
        System.out.print("俩个点分别为："+"("+A[y1][0]+","+A[y1][1]+")");
        System.out.println(" "+"("+A[y2][0]+","+A[y2][1]+")" );
      }
  }
}