1、一阶谓词逻辑中量词只能作用在个体词上，二阶逻辑可以作用在谓词上。
2、命题公式通过赋值01来判断真假，一个公式A需要通过解释来判断真假，一个公式可以有多种解释，
公式里的个体可以赋予不同的个体，里面的谓词可以赋予不同的性质和关系，还可以用不同的个体域来解释量词，所以一个给定的公式可以有多种解释。有了解释就可以分公式的类型了，公式分可满足式，永真式，矛盾式，等值式。
3、如果个体域是有限的，那么不通过量词也可以表达公式的意思。当个体域是无限的，那就需要量词，因为我们规定 公式是有限长的，当个体域是无限的，就不能通过枚举来表达公式了。
等值式子:
1、去掉量词（有限）
2、量词的否定
3、量词辖域的收缩和扩张
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1、通过考虑B的两种情况可以证明:
首先该公式成立的前提条件是B不包含x
如果B=0那么B在两端都不起作用，如果B = 1那么右边始终为真，左边对于每个x，式子都为真，所以 总共为真。从左端到右端叫收缩，从右端到左端叫扩张，因为原来B在外面，现在在里面去了。
3、7为什么是这样呢？首先将括号里面通过蕴含等值式子去掉蕴含符号，然后将任何量词放进去，再利用量词否定和蕴含等值式子，可以得到右边的式子。
与7形成对照的是第四个等值式子，如果B在前面，那么全称量词就会变。
为什么是这样的呢？因为对于所有的x同时具有A和B两个性质，等价于所有x具有A性质并且所有x具有B性质。对于或而言，对于所有x要么具有A性质要么具有B性质，右边所有x具有A性质或所有x具有B性质，右边成立，左边必然成立，但是左边成立右边不一定成立。
对于偶数奇数，对于左端为真，右端为假，两边不等值，所以对与不成立。
(2)还用偶数奇数解释，对于与，左边存在x自然数，要么是偶数要么是奇数，右边存在x自然数是偶数，并且存在x自然数是奇数，右边是对的，左边是错的。
为什么要用换名规则，因为全称量词对或没有分配律，所以不能直接将全程量词提出去。
第三行把G(z, y)当作B， 第四行，把F(x)当作B；
可见前束范式是不唯一的，因为我们也可以对第一个x换成z。
注意是推理定律，不是等值式
