Van der Waerden 定理

​​https://zhuanlan.zhihu.com/p/150790806​​

https://www.bilibili.com/video/av86801472/

题外话：我发现 Van der Waerden 很帅 /se

定理内容大概为，将自然数划分成 个集合，存在任意长度的等差数列。

这里给出小学二年级

我们设 表示若将 分成 个集合，其中总有一个集合存在长为 的等差数列，这个 至少是多少。我们若能证明 ，那么就证到了原问题。

首先的观察的发现就是 事实上就是 （抽屉原理）

那么怎么构造长为 3 的等差数列呢？

我们先来玩一玩 。

我们想到若存在两个位置 颜色为 1，那么可以预定一下 颜色不是 1，不然就找到了长为 3 的等差数列。此时若能再找到两个位置 同色，并使得 不同色，且 ，那么就到手了。这些位置可以很优美的画出。

仅仅需要 这 6 个位置，

其中 。

我们将颜色用 xo 来表示，那么直观一点是这样的：

这样就能构造出 ，这看起来是一小步，其实是至关重要的考虑。下面，我们得先对 归纳得到

此时，我们仅仅需要做一些扩展，下面讨论 的情况。

使用下面的方法：首先用 找到 oox 的等差数列，然后把长为 的序列（可能需要更长一些，因为需要把 的给包含进来）看成一个有 种可能颜色的点，后用 来找到一个下图括号里面的两个 x，然后找到 v，看成有 种颜色的点，再使用一次。

我们已经找到归纳的方法了，下面考虑归纳证明 ，令 ，只需要重复下面过程 次：，最后得到的 就会存在 接下来，我们考虑 大一些的情况。

我们先从构造 入手，注意到只需要对 用一次归纳：

此时，我们已经可以写出最终的解法了。

1. 对于，我们知道。
2. 对于，令，执行次，取就一定可以找到长为

备注： 中的 都是要做出修正的，即找到了等差数列后，要扩展其长度到等差数列的下一项，此时 仅仅是扩大了 倍，丝毫不影响 。
我们不妨将步骤 2 写成：令 ，执行 次 ，取 就一定可以找到长为

虽然我们找到的这个上界很大，但我们知道确确实实存在这样一个上界，这也就说明了，对自然数任意划分，我们能找到任意长度的等差数列。

不仅 Van der Waerden 人长得很帅，这个定理也很美，无穷的集合，无穷的划分，带来的是无穷的美和无穷的乐趣。