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子群与商群
奇偶置换
- 正规子群
- 共轭子群
- 共轭子群是数学群论中的一个重要概念，它用于研究群的结构并为理解群的性质提供有力的工具。
- 设G是一个群，H是G的一个子群。如果存在G中的元素g，使得 g H g − 1 gHg^{-1} gHg−1（即H的元素在g的共轭作用下生成的集合）仍然等于H本身
- 或者更一般地，如果存在 g ∈ G 使得 g H g − 1 g∈G使得gHg^{-1} g∈G使得gHg−1等于G的另一个子群K，则称H是G的共轭子群（在第一种情况下，H也是自共轭的），或者称H和K是共轭的。
- 当H是G的正规子群时，对于任意g∈G，都有 g H g − 1 gHg^{-1} gHg−1=H。即正规子群只与自己共轭。
-
A
σ
=
A
,
s
g
n
σ
=
1
：偶置换
A_\sigma=A,sgn\sigma=1：偶置换
Aσ=A,sgnσ=1：偶置换
A σ = − A , s g n σ = − 1 ：奇置换 A_\sigma=-A,sgn\sigma=-1：奇置换 Aσ=−A,sgnσ=−1：奇置换
A σ = s g n σ A A_\sigma=sgn\sigma A Aσ=sgnσA -
A
n
为
S
n
中偶置换集合，即：
A_n为S_n中偶置换集合，即：
An为Sn中偶置换集合，即：
A n = { σ ∈ S n ∣ s g n σ = 1 } A n 是 S n 的子群 A_n=\{\sigma \in S_n|sgn\sigma =1\} \\A_n 是S_n的子群 An={σ∈Sn∣sgnσ=1}An是Sn的子群
陪集
左陪集与右陪集是群论中的两个重要概念，用于描述群的子结构及其与整个群之间的关系。以下是对左陪集与右陪集的详细解释：
-
左陪集：
- 设G是一个群，H是G的一个子群，对于G中的任意元素g，左陪集定义为gH = {gh | h ∈ H}，即将子群H中的每个元素与g相乘得到的集合。
- 形式化表示：对于任意g ∈ G，gH = {gh | h ∈ H}。
- 左陪集aH（其中a是G中的任意元素）是G中的一个子集，包含了所有通过将a与H中每个元素相乘得到的元素。
-
右陪集：
- 与左陪集类似，右陪集定义为Hg = {hg | h ∈ H}，即将子群H中的每个元素与G中的元素g相乘得到的集合（注意这里元素g在右侧）。
- 形式化表示：对于任意g ∈ G，Hg = {hg | h ∈ H}。
- 右陪集Ha（其中a是G中的任意元素）是G中的另一个子集，包含了所有通过将H中每个元素与a相乘得到的元素。
商群
- H 是群 G 的子群，则由 a R b ，若 a − 1 b ∈ H 所确定的 G 中的关系 R 是一个等价关系，并且 a 所在的等价类为 a H ， H 的左陪集为一个分划。 H是群G的子群，则由a R b，若a^{-1}b\in H\\所确定的G中的关系R\\是一个等价关系，并且a所在的等价类为aH，H的左陪集为一个分划。 H是群G的子群，则由aRb，若a−1b∈H所确定的G中的关系R是一个等价关系，并且a所在的等价类为aH，H的左陪集为一个分划。
-
H
是
G
的子群，则下面条件等价
H是G的子群，则下面条件等价
H是G的子群，则下面条件等价
a H ∩ b H ≠ ∅ a H = b H a − 1 b = H aH\cap bH \ne \emptyset \\aH=bH \\a^{-1}b=H aH∩bH=∅aH=bHa−1b=H - G 对上述等价关系的商集合。 左陪集 a H 为元素的集合记为 G / H ，称为 G 对 H 的左陪集空间。 G / H 的元素个数 ∣ G / H ∣ 称为 H 在 G 中的指数，记为 [ G : H ] G对上述等价关系的商集合。 \\左陪集aH为元素的集合记为G/H，称为G对H的左陪集空间。 \\G/H的元素个数|G/H|称为H在G中的指数，记为[G:H] G对上述等价关系的商集合。左陪集aH为元素的集合记为G/H，称为G对H的左陪集空间。G/H的元素个数∣G/H∣称为H在G中的指数，记为[G:H]
参考文献
1、文心一言
2、《抽象代数基础》
