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多元函数极限的存在性问题


高等数学课本对多元函数极限的描述,用

多元函数极限的存在性问题_用例

描述如下:

设二元函数

多元函数极限的存在性问题_微积分_02

的定义域为D,

多元函数极限的存在性问题_定义域_03

是D的聚点,如果存在常数A,对于任意给定的正数

多元函数极限的存在性问题_定义域_04

,总存在正数

多元函数极限的存在性问题_微积分_05

,使得当点

多元函数极限的存在性问题_用例_06

时,都有

多元函数极限的存在性问题_用例_07

成立,那么就称常数A为函数f(x,y)当

(x,y)->(x_0, y_0)

的极限,记作

\lim_{(x,y)->(x_0, y_0)}f(x,y)=A

定义就是这个样子的,这里需要注意的是,所谓的二重极限存在,是指

多元函数极限的存在性问题_数学_10

以任何方式趋近于

多元函数极限的存在性问题_定义域_03

时,f(x,y)都无限接近于A,因此,如果P(x,y)以某一特殊方式,例如沿着一条定直线或定曲线趋于

多元函数极限的存在性问题_定义域_03

时,即使f(x,y)无限接近某一确定值,我们还不能由此断定函数的极限存在,但是反过来,如果当P(x,y)以不同方式趋于

多元函数极限的存在性问题_定义域_03

时,f(x,y)趋于不同的值,那么就可以断定这个函数的极限不存在,下面用例子来说明这种情况:

函数

多元函数极限的存在性问题_用例_14

显然,当点

多元函数极限的存在性问题_数学_10

沿x轴趋近于点(0,0)时,

\lim_{(x,y)->(0, 0)}f(x,y)=\lim_{x->0}f(x,0)=\lim_{x->0}0=0

当点

多元函数极限的存在性问题_数学_10

沿y轴趋近于点(0,0)时,

\lim_{(x,y)->(0, 0)}f(x,y)=\lim_{y->0}f(0,y)=\lim_{y->0}0=0

虽然点P(x,y)以上述两种特殊方式(沿x轴或者y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是,

\lim_{(x,y)->(0, 0)}

并不存在,这是因为当点P(x,y)沿着直线y=kx趋近于点(0,0)时,有

\lim_{(x,y)->(0, 0),y=kx}\frac{xy}{x^2+y^2}=\lim_{x->0}\frac{kx^2}{x^2+k^2x^2}=\frac{k}{1+k^2}

显然,它是随着k的值不同而改变的.

我喜欢用图说明问题,我们用geogebra绘制出这个函数的图像,图中黑色直线和z轴的交点红色点B,就是当沿着y=kx直线趋近于原点时候函数的极限值,可以看到这个极限值在(-0.5,0.5)之间上下变化,也就是说极限不是固定值,原函数没有极限.

多元函数极限的存在性问题_数学_21

B点的变化曲线如下图所示:

多元函数极限的存在性问题_微积分_22

关于这幅图像,另外一个有意思的事情是,它竟然也是一个直纹面,三维视图中的黑颜色直线可以看成直纹面的母线,前面已经介绍过小蛮腰了.直纹面有无数种.你拿着一个棍子在空中胡乱比划,形成的三维面也是直纹面.

多元函数极限的存在性问题_定义域_23

结束!

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