定义
母函数，也叫生成函数，是求序列通项公式的强大工具。对于一个函数，它的麦克劳林级数每项
x
n
x^n
xn前的因子，如果是某个序列的第
n
n
n项，那么这个函数就是序列的母函数。比如说
f
(
x
)
=
(
x
+
1
)
2
f(x)=(x+1)^2
f(x)=(x+1)2，它的各阶导数如下：
f
(
x
)
=
(
x
+
1
)
2
f
′
(
x
)
=
2
(
x
+
1
)
f
′
′
(
x
)
=
2
f
(
3
)
(
x
)
=
0
f(x)=(x+1)^2\\ f'(x)=2(x+1)\\ f''(x)=2\\ f^{(3)}(x)=0
f(x)=(x+1)2f′(x)=2(x+1)f′′(x)=2f(3)(x)=0
所以它的展开式为：
f
(
x
)
=
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
x
+
f
′
′
(
0
)
2
!
x
2
=
1
+
2
x
+
x
2
f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2=1+2x+x^2
f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2=1+2x+x2
所以它是序列
1
,
2
,
1
1,2,1
1,2,1的母函数。当然这个例子不需要那么复杂的展开，只需要根据多项式运算法则，把
(
x
+
1
)
2
(x+1)^2
(x+1)2算出来就好了。之所以不用数列这个词，因为数列是无穷项的，而序列可以是无穷项，也可以是有限项。
求母函数
举个考试的例题来说说母函数的求法，求以下调和数列的母函数：
1
,
1
2
,
1
3
,
⋯
,
1
n
1,\frac{1}2,\frac{1}3,\cdots,\frac{1}n
1,21,31,⋯,n1
对于这种，我们需要建立一种敏感，这肯定是对数函数的展开式。我们先拿
f
(
x
)
=
ln
x
f(x)=\ln x
f(x)=lnx展开试试看：
f
(
x
)
=
ln
x
f
′
(
x
)
=
1
x
f
′
′
(
x
)
=
−
1
x
2
f
(
3
)
x
=
2
x
3
⋮
f
(
n
)
(
x
)
=
(
n
−
1
)
!
x
n
f(x)=\ln x\\ f'(x)=\frac1{x}\\ f''(x)=-\frac1{x^2}\\ f^{(3)}x=\frac2{x^3}\\ \vdots\\ f^{(n)}(x)=\frac{(n-1)!}{x^n}
f(x)=lnxf′(x)=x1f′′(x)=−x21f(3)x=x32⋮f(n)(x)=xn(n−1)!
这个函数的各阶导数在0点是没有函数值的，所以无法在0点展开，但那也不是没有任何办法。可以将函数左移，求下
f
(
x
)
=
ln
(
x
+
1
)
f(x)=\ln(x+1)
f(x)=ln(x+1)的各阶导数：
f
(
x
)
=
ln
(
x
+
1
)
f
′
(
x
)
=
1
x
+
1
f
′
′
(
x
)
=
−
1
(
x
+
1
)
2
f
(
3
)
x
=
2
(
x
+
1
)
3
⋮
f
(
n
)
(
x
)
=
(
n
−
1
)
!
(
x
+
1
)
n
f(x)=\ln (x+1)\\ f'(x)=\frac1{x+1}\\ f''(x)=-\frac1{(x+1)^2}\\ f^{(3)}x=\frac2{(x+1)^3}\\ \vdots\\ f^{(n)}(x)=\frac{(n-1)!}{(x+1)^n}
f(x)=ln(x+1)f′(x)=x+11f′′(x)=−(x+1)21f(3)x=(x+1)32⋮f(n)(x)=(x+1)n(n−1)!
所以展开式为：
f
(
x
)
=
0
+
x
−
1
2
x
2
+
1
3
x
3
+
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
1
n
x
n
f(x)=0+x-\frac1{2}x^2+\frac{1}3x^3+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^n
f(x)=0+x−21x2+31x3+⋯+(−1)n−1n1xn
但是这依旧不是我们想要的结果。因为它是序列：
1
,
−
1
2
,
⋯
,
(
−
1
)
n
−
1
1
n
1,-\frac1{2},\cdots,(-1)^{n-1}\frac{1}{n}
1,−21,⋯,(−1)n−1n1的母函数。好了，如果说把函数换成
f
(
x
)
=
ln
(
1
−
x
)
f(x)=\ln(1-x)
f(x)=ln(1−x)呢，再计算下：
f
(
x
)
=
ln
(
1
−
x
)
f
′
(
x
)
=
−
1
1
−
x
f
′
′
(
x
)
=
−
1
(
1
−
x
)
2
f
(
3
)
x
=
−
2
(
1
−
x
)
3
⋮
f
(
n
)
(
x
)
=
−
(
n
−
1
)
!
(
1
−
x
)
n
f(x)=\ln (1-x)\\ f'(x)=-\frac1{1-x}\\ f''(x)=-\frac1{(1-x)^2}\\ f^{(3)}x=-\frac2{(1-x)^3}\\ \vdots\\ f^{(n)}(x)=-\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}
f(x)=ln(1−x)f′(x)=−1−x1f′′(x)=−(1−x)21f(3)x=−(1−x)32⋮f(n)(x)=−(1−x)n(n−1)!
所以麦克劳林级数为：
f
(
x
)
=
0
−
x
−
1
2
x
2
−
1
3
x
3
−
⋯
−
1
n
x
n
f(x)=0-x-\frac1{2}x^2-\frac{1}3x^3-\cdots-\frac{1}{n}x^n
f(x)=0−x−21x2−31x3−⋯−n1xn
所以
ln
(
1
−
x
)
\ln(1-x)
ln(1−x)是
−
1
,
−
1
2
,
⋯
,
−
1
n
-1,-\frac{1}2,\cdots,-\frac{1}{n}
−1,−21,⋯,−n1这个序列的母函数，那么调和数列的母函数就是
−
ln
(
1
−
x
)
-\ln(1-x)
−ln(1−x)就是调和数列的母函数。但是这个写法太难看了，改一改：
−
ln
(
1
−
x
)
=
ln
(
1
−
x
)
−
1
=
ln
1
1
−
x
-\ln(1-x)\\ =\ln(1-x)^{-1}\\ =\ln\frac{1}{1-x}
−ln(1−x)=ln(1−x)−1=ln1−x1
