机器学习中的数学——距离定义（二十二）：α-散度（α-Divergence）

α-散度表达式如下：
$$D_{\alpha }(p||q)=\frac{4}{1-{\alpha }^2}(1-\int p(x{)}^{\frac{1+\alpha }{2}}q(x{)}^{\frac{1-\alpha }{2}}\text{d}x)$$

其中，$-\infty <\alpha <+\infty$​是一个连续参数。KL散度​$D_{KL}(p||q)$对应于极限$\alpha \to 1$ ​，而​$D_{KL}(q||p)$对应于极限$\alpha \to -1$​。对于所有​的$\alpha$值，我们有​$D_{\alpha }(p||q)\ge 0$，当且仅当$p(x)=q(x)$​时等号成立。假设$p(x)$是一个固定的分布，我们关于某个概率分布$q(x)$的集合最小化$D_{\alpha }(p||q)$。那么对于$\alpha \le -1$​​的情况，散度是零强制的(Zero Forcing)，即对于使得$p(x)=0$成立的任意$X$值，都有$q(x)=0$，通常$q(x)$会低估$p(x)$的支持，因此倾向于寻找具有最大质量的峰值。相反，对于$\alpha \ge -1$的情况，散度是零避免的(Zero Avoiding)，即对于使得$p(x)>0$成立的任意$X$值，都有$q(x)>0$​，通常​$q(x)$会进行拉伸来覆盖到所有的$p(x)$​值，从而高估了$p(x)$的支持。当$\alpha =0$时，我们得到了一个对称的散度，它与Hellinger距离线性相关：
$$D_H(p||q)=\int (p(x{)}^{\frac{1}{2}}+q(x{)}^{\frac{1}{2}})\text{d}x)$$