信号与系统-1-δ函数尺度运算的证明

事先给出一则广义函数的性质：若${\int }_{-\infty }^{+\infty }{g}_1(t)\phi (t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{g}_2(t)\phi (t)$，则有$g_1(t)=g_2(t)$成立

尺度运算 $\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$ 的证明:
已知$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\delta (t)dt=f(0)$$
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\delta (at)dt& =\frac{1}{a}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\delta (at)d(at)\\ & =\frac{1}{a}f(0){\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (at)d(at)\\ & =\frac{1}{a}f(0)\end{array}$$
因此有$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\delta (at)dt=\frac{1}{a}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\delta (t)dt$$
由广义函数的性质可得：$$\delta (at)=\frac{1}{a}\delta (t)$$