【220102】消除游戏

思路一：约瑟夫环

对称性
由于从左往右和从右往左分别为从左端点发起，间隔删除和从右端点发起，间隔删除，因此整个删除过程在连续序列中[1,n]中具有对称性，两者最终剩余的编号在连续序列中也具有对称性。

公式一
$$f_{左}(n)+f_{右}(n)=n+1$$

• 定义 $f_{左}(n)$ 为在连续序列 [1,n] 中进行起始从左到右的轮流换向间隔删除，最终左边剩余的编号。
• 定义 $f_{右}(n)$ 为在连续序列 [1,n] 中进行起始从右到左的轮流换向间隔删除，最终右边剩余的编号。

公式二
$$f_{左}(n)=f_{右}(\frac{n}{2})\ast 2$$
当我们对连续序列 [1, 2, 3, … , n] 执行了一次从左往右的消除之后，得到的序列为 [2, 4, 6, … , i] ，新序列的长度为 $\frac{n}{2}$，且新序列起始变为从右往左。

最终公式
$$f_{左}(n)=2\ast (\frac{n}{2}+1-f(\frac{n}{2}))$$
代码

class Solution {
    public int lastRemaining(int n) {
        return n == 1 ? 1 : 2 * (n / 2 + 1 - lastRemaining(n / 2));
    }
}