（组合数学笔记）拆分数各类定义及公式总结

• ​​一些定义​​
• ​​符号表示​​
• ​​特殊的拆分数​​
• ​​两个递推关系​​
• ​​一些定理​​

一些定义

• 拆分数：
  设如果正整数满足则称为正整数的一个拆分，称为拆分的第个部分。
• 完备拆分数：
  设，如果对于满足的任何正整数，拆分中恰有一个子集是的一个拆分，即，则称是正整数的一个完备拆分，记为，并以表示完备拆分的部分数。

符号表示

约定：
对所有不满足 约定

特殊的拆分数

设 则

两个递推关系

1. 设则当时，有
   另一种表述：设则有
2. 设则

一些定理

• 一个宽松上界：
• Hardy-Ramanujan Theorem:
• 完备拆分计算公式
  设 且 其中 均为素数，令 则
• 的完备拆分 的最小部分数
  设 其中是大于1的正整数，则当均为素数时，完备拆分的部分数取得最小值，即此时有
• 的具有最小部分数的完备拆分数