[leetcode] 483. Smallest Good Base

Description

For an integer n, we call k>=2 a good base of n, if all digits of n base k are 1.

Now given a string representing n, you should return the smallest good base of n in string format.

Example 1:

Input:

"13"

Output:

"3"

Explanation:

13 base 3 is 111.

Example 2:

Input:

"4681"

Output:

"8"

Explanation:

4681 base 8 is 11111.

Example 3:

Input:

"1000000000000000000"

Output:

"999999999999999999"

Explanation:

1000000000000000000 base 999999999999999999 is 11.

Note:

1. The range of n is [3, 10^18].
2. The string representing n is always valid and will not have leading zeros.

分析

题目的意思是：求最小的好基数，能把给定的n转换为全1.

• 如果用k表示基数，m表示转为全1数字的位数，那么数字n就可以拆分为：

n = 1 + k + k^2 + k^3 + ... + k^(m-1)

公式求和：

 n = (k^m - 1) / (k - 1)

• 目标是求最小的k，那么仔细观察这个式子，在n恒定的情况，k越小则m却大，那么就是说上面的等式越长越好
• 下面分析m的取值范围，题目中给了n的范围，是[3, 10^18]。那么由于k至少为2，n至少为3，那么肯定至少有两项，则m>=2。那么m的上限该如何求？k最小是2，那么m最大只能为log2(n + 1)。
• 看题目中最后一个例子，可以发现，当k=n-1时，一定能变成11，所以实在找不到更小的情况下就返回n-1。

代码

class Solution {
public:
    string smallestGoodBase(string n) {
        long long num=stol(n);
        for(int i=log(num+1)/log(2);i>=2;i--){
            long long left=2,right=pow(num,1.0/(i-1))+1;
            while(left<right){
                long long mid=(left+right)/2;
                long sum=0;
                for(int j=0;j<i;j++){
                    sum=sum*mid+1;
                }
                if(sum==num) return to_string(mid);
                else if(sum<num) left=mid+1;
                else right=mid;
            }
        }
        return to_string(num-1);
    }
};

参考文献

​​[LeetCode] Smallest Good Base 最小的好基数​​