正三棱锥与正四面体，正三棱锥的相关性质。
前言
正三棱锥是底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。正三棱锥不等同于正四面体，正四面体必须每个面都是全等的等边三角形。所以正四面体是特殊的正三棱锥。以下为我们解题时常用的几种正三棱锥的配图，要熟练掌握。
也就是我们解题时需要手工配图的样式图。
相关性质
以下图为例，解释说明相关的性质，希望一次过手，一次记准。
1．底面 \(ABC\) 是等边三角形。
2．侧面 \(PAB\)、 \(PBC\)、 \(PAC\) 是三个全等的等腰三角形。
3．顶点 \(P\) 在底面 \(ABC\) 的射影 \(O\) 是底面三角形\(\triangle ABC\) 的中心[也是重心、垂心、外心、内心]。
4．为方便解题，我们常在正三棱锥 \(P-ABC\) 中构造以下四个直角三角形：
①. 斜高 \(PE\) 、侧棱 \(PB\) 、底边的一半 \(BE\) 构成的直角三角形 \(Rt\triangle PEB\) ；
②. 高 \(PO\) 、斜高 \(PE\) 、斜高的射影 \(EO\) 构成的直角三角形 \(Rt\triangle POE\) ；
③. 高 \(PO\) 、侧棱 \(PB\) 、侧棱的射影 \(OB\) 构成的直角三角形 \(Rt\triangle POB\) ；
④. 斜高射影 \(EO\) 、侧棱射影 \(OB\) 、底边的一半 \(BE\) 构成的直角三角形 \(Rt\triangle BOE\) 。
说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。在正三棱锥计算题中，常常取上述直角三角形。这样做的优越性在于不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。
球体与正四面体
- 正四面体的棱长为\(a\)，则其高为\(h=\cfrac{\sqrt{6}}{3}a\)；
- 正四面体的内切球球心、棱切球球心、外接球球心是同一个点，在正四面体的高上，是高线上接近底面的四等分点。
- 正四面体的内切球半径\(R_{内}=\cfrac{\sqrt{6}a}{12}=\cfrac{1}{4}h=IF\)；
- 正四面体与各棱相切的棱切球的半径\(R_{棱}=\cfrac{\sqrt{2}a}{4}=IE\)；
- 正四面体的外接球半径\(R_{外}=\cfrac{\sqrt{6}a}{4}=IC\)；
- 正四面体的内切球半径与外接球半径之比为\(R_{内}：R_{外}=1：3\)；\(R_{内}=\cfrac{1}{4}h\)；\(R_{外}=\cfrac{3}{4}h\)；\(h=\cfrac{\sqrt{6}}{3}a\)；
球体与正三棱锥
- 正三棱锥的棱长为\(a\)；则其高为\(h=\)；
- 正三棱锥的内切球半径；
- 正三棱锥的外接球半径；
球体与四面体
- 任意四面体都有内切球和外接球。
任意三角形都有内切圆，任意四面体都有内切球；任意三角形都有外接圆，任意四面体都有外接球；
作者：静雅斋数学
