最小方差生成树 （Kruskal）

问题描述

给定带权无向图，求出一颗方差最小的生成树。

输入格式

输入多组测试数据。第一行为N,M，依次是点数和边数。接下来M行，每行三个整数U,V,W，代表连接U,V的边，和权值W。保证图连通。n=m=0标志着测试文件的结束。

输出格式

对于每组数据，输出最小方差，四舍五入到0.01。输出格式按照样例。

样例输入

4 5
1 2 1
2 3 2
3 4 2
4 1 1
2 4 3
4 6
1 2 1
2 3 2
3 4 3
4 1 1
2 4 3
1 3 3
0 0

样例输出

Case 1: 0.22
Case 2: 0.00

数据规模与约定

1<=U,V<=N<=50,N-1<=M<=1000,0<=W<=50。数据不超过5组。

题解：首先说明LQB这题数据好像有错啊....这题有很多姿势。原题来自是BZOJ 3754 （VIP题）.....

BZOJ那道是算标准差，这题是方差。姿势差不多一样。

对于这道题来说，可以这样做，因为求方差最小，那么就是要求每条边的（权重-边权和的平均值）^2的和最小。

那么我们枚举全部边权和的可能值，每次都跑一次Kruskal，跑的时候以（权重-边权和的平均值）^2为当前权重，然后如果我们先前枚举的的边权和等于跑完Kruskal后，生成树的权值。我们就更新答案就可以了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
double ans;
int tmp[100100];
int fa[100100]; 
struct edge
{
  int x,y;
  double w,val;
  edge(int x=0,int y=0,double w=0,double val=0):x(x),y(y),w(w),val(val){}
}e[100100];

int cmp(edge a,edge b)
{
  return a.val<b.val;
}
int getfather(int x)
{
  return fa[x]==x ? x: fa[x]=getfather(fa[x]);
}

void kruskal(int sum)
{
  
  int cnt=n;
  double res=0;
  double tmp_ans=0;
  
  double average=sum * 1.0 /(n-1); 
  
  //方差 * (n-1)
  for(int i=0;i<m;i++){
    e[i].val = (e[i].w-average) * (e[i].w-average);
  }
  for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
  sort(e,e+m,cmp);
  for(int i=0;i<m;i++)
  {
    int t1=getfather(e[i].x);
    int t2=getfather(e[i].y);
    if(t1!=t2)
    {
      fa[t1]=t2;
      res += e[i].w;
      tmp_ans += e[i].val;  
      cnt--;
      if(cnt==1)break;
    }
  }
  if((int)res==sum){
    ans=min(ans, tmp_ans);
    //cout<<"true"<<endl;
  } 
}
int main()
{
//  freopen("in.txt","r",stdin);
  int cas=1;
  while(~scanf("%d%d",&n,&m),n+m)
  {
    int maxx=0,minn=0;
    ans=99999999999.0;
    
    for(int i=0;i<m;i++){
      cin>>e[i].x>>e[i].y>>e[i].w;
      tmp[i]=e[i].w;
    }
    sort(tmp,tmp+m);
    for(int i=0;i<n-1;i++){
      minn+=tmp[i];
    }
    for(int i=m-1;i>m-n;--i){
      maxx+=tmp[i];
    }
    for(int i=minn;i<=maxx;i++){ // 
      kruskal(i);
    }
    ans=ans/(n-1);
    printf("Case %d: %.2f\n",cas++,ans);
  }
  return 0;
}