文章目录
- 一、算法的概念
- 二、插入排序
- 1.用玩扑克的方式解释插入排序
- 2.插入排序的算法如下：
- （2）如何严格证明这个算法是正确的？
- 3.算法的时间复杂度分析
- （1）比较评价算法的好坏，一个重要的标准就是算法的时间复杂度
- （2）在分析算法的时间复杂度时，我们更关心最坏情况而不是最好情况
- （3）如何证明是2n^2+3lgn和 n ^2是同一量级的？
- （4）几种常见的时间复杂度函数按数量级从小到大的顺序
- （5）Small-O notation和Big-O notation
- 四、归并排序：分而治之
- 1.插入排序与归并排序的区别
- 2.归并排序的步骤
- 五、快速排序：分而治之
- 1.快排的核心思想
- 2.时间复杂度
- 六、线性查找
- 1.任意输入字符串中找出某个字母的位置并返回这个位置
- 2.习题
- 七、折半查找
- 1.在有序的序列里查找，可用折半查找
- 2.如何保证程序的正确性？
- 3.习题
一、算法的概念
（1）算法（Algorithm） 是将一组输入转化成一组输出的一系列计算步骤，其中每个步骤必须能在有限时间内完成。
（2）
二、插入排序
1.用玩扑克的方式解释插入排序
要点在于：
（1）前提：每次插入新的值时，前面的序列都是有序的
（2）但和插入扑克牌有一点不同，不可能在两个相邻的存储单元之间再插入一个单元，因此要将插入点之后的数据依次往后移动一个单元。
2.插入排序的算法如下：
（1）运行结果如下：
（2）如何严格证明这个算法是正确的？
总结：
- 这里的第一条就相当于递归的Base Case
- 第二条就相当于递归的递推关系。这再次说明了递归和循环是等价的
3.算法的时间复杂度分析
（1）比较评价算法的好坏，一个重要的标准就是算法的时间复杂度
这里有一个问题，m不是个常数，也不取决于输入长度n，而是取决于具体的输入数据。
（a）在最好情况下
数组 a 的原始数据已经排好序了， while 循环一次也不执行，总的执行时间是(c1+c2+c5)*n-(c1+c2+c5)，可以表示成an+b的形式，是n的线性函数（Linear Function）。
（b）在最坏情况（Worst Case） 下
所谓最坏情况是指数组 a 的原始数据正好是从大到小排好序的
（c）平均情况（Average Case）
（2）在分析算法的时间复杂度时，我们更关心最坏情况而不是最好情况
（3）如何证明是2n^2+3lgn和 n ^2是同一量级的？
（4）几种常见的时间复杂度函数按数量级从小到大的顺序
（5）Small-O notation和Big-O notation
四、归并排序：分而治之
1.插入排序与归并排序的区别
2.归并排序的步骤
（1）代码如下
（2）执行结果如下
（3）代码解释如下：
首先是sort函数：
sort 函数把a[start…end]平均分成两个子序列，分别是a[start…mid]和a[mid+1…end]，对这两个子序列分别递归调用 sort 函数进行排序，然后调用 merge 函数将排好序的两个子序列合并起来。
接着是merge函数：
合并的过程很简单，每次循环取两个子序列中最小的元素进行比较，将较小的元素取出放到最终的排序序列中，如果其中一个子序列的元素已取完，就把另一个子序列剩下的元素都放到最终的排序序列中
（4）归并排序的调用过程如下：
（5）归并排序的复杂度
merge函数的时间复杂度为
sort函数的时间复杂度为
总的时间的复杂度为：
五、快速排序：分而治之
define N 某个数;
int a[N];
int partition(int start,int end)
{
int i=start;
int j=end;
int base=a[i];
/*一定要先从右边开始找*/
while (i!=j){
while (a[j]>=base && i<j)
j--;
while (a[i]<=base && i<j)
i++;
if (i<j){
int t;
t=a[start]
a[start]=a[end];
a[end]=t;
}
}
if(i==j){
a[start]=a[i];
a[i]=base;
}
return i;
}
void quicksort(int start,int end)
{
int mid;
if(end>start){
mid=partition(start,end);
quicksort(start,mid-1);
quicksort(mid+1,end);
}
}
1.快排的核心思想
先找到一个基数（若是最左边的为基数，升序排列），从右边开始寻找小于基数的数字，然后从左边开始寻找大于基数的数，找到了就交换，直到这两端遍历的i和j碰头为止。
2.时间复杂度
N：需要排序的元素个数
最差时间复杂度O(N^2);
平均时间复杂度O(NlogN),这里的log是以2为底
六、线性查找
1.任意输入字符串中找出某个字母的位置并返回这个位置
（1）写一个 indexof 函数，从任意输入字符串中找出某个字母的位置并返回这个位置，如果找不到就返回-1：
代码如下：
（2）时间复杂度是：O(n)
2.习题
（1）
没有（2）
/*在一组随机排列的数中找出第k小的*/
int partition(int start, int end)
{
int i=start,j=end;
int base=a[start];
while (i!=j)
{
while (i<j && a[j]>=base)
j--;
while (i<j && a[i]<=base)
i++;
if (i<j)
{
change location;
}
}
if (i==j)
{
a[start]=a[i];
a[i]=base;
}
return i;
}
int order_statistic (int start, int end, int k)
{
int mid;
if(end>start)
mid=partition(start,end);
int i=mid;
if (k==i)
return i;
else if (k>i)
return partition(mid+1,end,k)
else
return partition(start,mid-1,k)
}
七、折半查找
1.在有序的序列里查找，可用折半查找
（1）代码如下：
（2）折半查找Binary Search的含义
2.如何保证程序的正确性？
（1）接着上面的二分查找的eg去讲，在这个a[start…end]范围之外的数组 a 的元素中一定不存在 number 这个元素。
以下为了书写方便，我们把这句话表示成 mustbe(start, end, number) 。
解释：
（a）注意这个算法有一个非常重要的前提： a 是排好序的
（b）从更普遍的意义上说，函数的调用者（Caller） 和函数的实现者（Callee，被调用者） 之间订立了一个契约（Contract） ，在调用函数之前，Caller要为Callee提供某些条件，比如确保 a 是排好序的，确保a[start…end]都是有效的数组元素而没有
访问越界，这称为Precondition。然后Callee对一些Invariant进行维护（Maintenance） ，这些Invariant保证了Callee在函数返回时能够对Caller尽到某些义务，比如确保“如果 number 在数组 a 中存在，一定能找出来并返回它的位置，如果 number 在数组 a 中不存在，一定能返回-1”，这称为Postcondition。
（c）测试一个函数是否正确需要把Precondition、Maintenance和Postcondition这三方面都测试到，比如 binarysearch 这个函数，即使它写得非常正确，既维护了Invariant也保证了
Postcondition，如果调用它的Caller没有保证Precondition，最后的结果也还是错的。
（2）我们编写几个测试用的Predicate函数，然后把相关的测试插入到 binarysearch 函数中
下面的是带有测试代码的折半查找：
说明：
（a）断言Assertion的作用如下：
（b）测试代码只在开发和调试时有用。
如果正式发布（Release） 的软件也要运行这些测试代码就会严重影响性能了，如果在包含 assert.h 之前定义一个 NDEBUG 宏（表示No Debug） ，就可以禁用 assert.h 中的 assert 宏定义，这样代码中的所有 assert 测试都不起作用了：
（c）总结下
在实际工作中我们要测试的代码绝不会像 binarysearch 这么简单，而我们编写的测试函数往往都很简单，比较容易保证正确性，也就是用简单的、不容易出错的代码去测试复杂的、容易出错的代码。
3.习题
int binarysearch(int number)
{
int mid, start=0,end=N-1;
while (start<=end)
{
mid=(start+end)/2;
if(number<a[mid])
end=mid-1;
else if (number>a[mid])
start=mid+1;
else
{
while (a[mid--]==number);
return mid;
}
}
}
double mysqrt(double y)
{
double mid,start=0,end=y;
while (start<=end)
{
mid=(start+end)/2;
if ((abs(pow(mid,,2)-y)<0.001)
return mid;
else if ((pow(mid,,2)<y)
start=mid+0.001;
else
end=mid-0.001;
}
}
