图-----Java版-CFANZ编程社区

图-----Java版

一、图基本介绍

为什么要有图

线性表和树
线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
树也只能有一个直接前驱也就是父节点
当我们需要表示多对多的关系时，这里我们就用到了图。

图的举例说明

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。如图：

图-----Java版_List

图的常用概念

顶点(vertex)
边(edge)
路径
无向图
有向图
带权图

图-----Java版_算法_02

二、图的表示方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的 row 和 col 表示的是 1…n个点。

图-----Java版_算法_03

邻接表

邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
举例说明

三、图的入门

要求: 代码实现如下图结构.

图-----Java版_算法_04

思路分析
(1) 存储顶点 String 使用 ArrayList
(2) 保存矩阵 int[][]edges

//插入结点
    public void insertVertex(String vertex){
        vertexList.add(vertex);
    }
 /**
     *
     * @param v1 表示点的下标即使第几个顶点  "A"-"B" "A"->0 "B"->1
     * @param v2 第二个顶点对应的下标
     * @param weight 表示
     */
     //添加边
    public void insertEdge(int v1,int v2,int weight){
        edges[v1][v2]=weight;
        edges[v2][v1]=weight;
        numOfEdges++;
    }

四、图的深度优先遍历

图遍历介绍

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略:
(1)深度优先遍历
(2)广度优先遍历

深度优先遍历基本思想

图的深度优先搜索(DepthFirstSearch) 。

深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
显然，深度优先搜索是一个递归的过程

深度优先遍历算法步骤

访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。
查找结点 v 的第一个邻接结点 w。
若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。
若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤 123）。
查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3。
分析图

深度优先算法的代码实现：

//深度优先遍历算法
    // i 第一次就是 0

    private void dfs(boolean[] isVisited,int i){
        //首先我们访问该结点,输出
        System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
        //将结点设置为已经访问
        isVisited[i]=true;
        //查找结点 i 的第一个邻接结点 w
        int w=getFirstNeighbor(i);
        while (w!=-1){
            //说明有
            if (!isVisited[w]){
                dfs(isVisited,w);
            }
            //如果 w 结点已经被访问过
            w=getNextNeighbor(i,w);
        }
    }

    //对 dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
    public void dfs(){
        isVisited=new boolean[vertexList.size()];
        //遍历所有的结点，进行 dfs[回溯]
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]){
                dfs(isVisited,i);
            }
        }
    }

五、图的广度优先遍历

广度优先遍历基本思想

图的广度优先搜索(BroadFirst Search) 。
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

广度优先遍历算法步骤

访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。
结点 v 入队列
当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
出队列，取得队头结点 u。
查找结点 u 的第一个邻接结点 w。
若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：
6.1 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。
6.2 结点 w 入队列 6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。

广度优先算法的图示

图-----Java版_List_05

//对一个结点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean [] isVisited,int i){
        // 表示队列的头结点对应下标
        int u;
        // 邻接结点 w
        int w;
        //队列，记录结点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList<>();

        //访问结点，输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");

        //标记为已访问
        isVisited[i]=true;
        //将结点加入队列
        queue.addLast(i);
        while (!queue.isEmpty()){
            //取出队列的头结点下标
            u=(Integer)queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接结点的下标 w
            w=getFirstNeighbor(u);
            while (w!=-1){
                //找到
                //是否访问过
                if (!isVisited[w]){
                    System.out.print(getValueByIndex(w)+"->");

                    //标记已经访问
                    isVisited[w]=true;

                    //入队
                    queue.addLast(w);
                }
                //以 u 为前驱点，找 w 后面的下一个邻结点
                //体现出我们的广度优先
                w=getNextNeighbor(u,w);
            }
        }
    }

    //遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
    public void bfs(){
        isVisited=new boolean[vertexList.size()];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]){
                bfs(isVisited,i);
            }
        }
    }

全部实现：

public class Graph {

    //存储顶点集合
    private ArrayList<String> vertexList;
    //存储图对应的邻结矩阵
    private int [][] edges;

    //表示边的数目

    private int numOfEdges;

    //定义给数组 boolean[], 记录某个结点是否被访问

    private boolean [] isVisited;

    public static void main(String[] args) {
        //测试一把图是否创建 ok
        int n=8; //结点的个数
        //StringVertexs[]={"A","B","C","D","E"};
        String Vertexs[]={"1","2","3","4","5","6","7","8"};
        //创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);

        //循环的添加顶点
        for (String vertex : Vertexs) {
            graph.insertVertex(vertex);
        }

        //添加边
    /*    //A-B A-C B-C B-D B-E
        graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
        graph.insertEdge(0, 2, 1); //
        graph.insertEdge(1, 2, 1); //
        graph.insertEdge(1, 3, 1); //
        graph.insertEdge(1, 4, 1); //*/

        //更新边的关系
        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);
        graph.insertEdge(3, 7, 1);
        graph.insertEdge(4, 7, 1);
        graph.insertEdge(2, 5, 1);
        graph.insertEdge(2, 6, 1);
        graph.insertEdge(5, 6, 1);


        //显示一把邻结矩阵
        graph.showGraph();

        //测试一把，我们的dfs遍历是否ok
        System.out.println("深度遍历");
        graph.dfs(); // A->B->C->D->E [1->2->4->8->5->3->6->7]
        System.out.println();
        System.out.println("广度优先!");
        graph.bfs(); // A->B->C->D-E [1->2->3->4->5->6->7->8]

    }

    //构造器
    public Graph(int n) {
        //初始化矩阵和 vertexList
        edges=new int[n][n];
        vertexList=new ArrayList<>(n);
        numOfEdges=0;
    }
    //插入结点
    public void insertVertex(String vertex){
        vertexList.add(vertex);
    }

    //得到第一个邻接结点的下标 w
    /**
     *
     * @param index
     * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
     */

    public int getFirstNeighbor(int index){
        for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[index][j]>0){
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
    public int getNextNeighbor(int v1,int v2){
        for (int j = v2+1; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[v1][j]>0){
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //深度优先遍历算法
    // i 第一次就是 0

    private void dfs(boolean[] isVisited,int i){
        //首先我们访问该结点,输出
        System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
        //将结点设置为已经访问
        isVisited[i]=true;
        //查找结点 i 的第一个邻接结点 w
        int w=getFirstNeighbor(i);
        while (w!=-1){
            //说明有
            if (!isVisited[w]){
                dfs(isVisited,w);
            }
            //如果 w 结点已经被访问过
            w=getNextNeighbor(i,w);
        }
    }

    //对 dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
    public void dfs(){
        isVisited=new boolean[vertexList.size()];
        //遍历所有的结点，进行 dfs[回溯]
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]){
                dfs(isVisited,i);
            }
        }
    }

    //对一个结点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean [] isVisited,int i){
        // 表示队列的头结点对应下标
        int u;
        // 邻接结点 w
        int w;
        //队列，记录结点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList<>();

        //访问结点，输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");

        //标记为已访问
        isVisited[i]=true;
        //将结点加入队列
        queue.addLast(i);
        while (!queue.isEmpty()){
            //取出队列的头结点下标
            u=(Integer)queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接结点的下标 w
            w=getFirstNeighbor(u);
            while (w!=-1){
                //找到
                //是否访问过
                if (!isVisited[w]){
                    System.out.print(getValueByIndex(w)+"->");

                    //标记已经访问
                    isVisited[w]=true;

                    //入队
                    queue.addLast(w);
                }
                //以 u 为前驱点，找 w 后面的下一个邻结点
                //体现出我们的广度优先
                w=getNextNeighbor(u,w);
            }
        }
    }

    //遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
    public void bfs(){
        isVisited=new boolean[vertexList.size()];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]){
                bfs(isVisited,i);
            }
        }
    }

    //图中常用的方法
    //返回结点的个数
    public int getNumOfVertex(){
        return vertexList.size();
    }

    //显示图对应的矩阵
    public void showGraph(){
        for (int [] link:edges){
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    //得到边的数目
    public int getNumOfEdges(){
        return numOfEdges;
    }

    //返回结点 i(下标)对应的数据 0->"A"1->"B"2->"C"
    public String getValueByIndex(int i){
        return vertexList.get(i);
    }

    //返回 v1 和 v2 的权值
    public int getWeight(int v1,int v2){
        return edges[v1][v2];
    }

    //添加边

    /**
     *
     * @param v1 表示点的下标即使第几个顶点  "A"-"B" "A"->0 "B"->1
     * @param v2 第二个顶点对应的下标
     * @param weight 表示
     */

    public void insertEdge(int v1,int v2,int weight){
        edges[v1][v2]=weight;
        edges[v2][v1]=weight;
        numOfEdges++;
    }
}

六、图的深度优先 VS 广度优先

图-----Java版_数据结构_06

图-----Java版_结点_07