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树及其二叉树

无聊到学习 2022-01-31 阅读 45

目录

前言

一、树是什么?

二、树的一些重要概念

三、二叉树

两种特殊的二叉树

二叉树的性质

 四、链式存储实现的二叉树

总结


前言

       二叉树是数据结构中很重要的一部分,二叉树和栈和队列不一样,栈和队列是线性结构,而二叉树是树形结构,其形状类似于一颗倒挂的树。所以到了二叉树这就更需要画图来更具体的表现出来逻辑,一起来了解一下二叉树吧!


一、树是什么?

       树是一种非线性的数据结构,它是由 nn>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:

*有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点

*除根结点外,其余结点被分成 M(M > 0) 个互不相交的集合 T1 T2 ...... Tm ,其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有 0 个或多个后继

*树是递归定义的。

二、树的一些重要概念

结点的度 :一个结点含有子树的个数称为该结点的度; 如上图: A 的度为 6

树的度 :一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度; 如上图:树的度为 6

叶子结点或终端结点 :度为 0 的结点称为叶结点; 如上图: B C H I... 等节点为叶结点

双亲结点或父结点 :若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图: A B 的父结点

孩子结点或子结点 :一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图: B A 的孩子结点

根结点 :一棵树中,没有双亲结点的结点;如上图: A

结点的层次 :从根开始定义起,根为第 1 层,根的子结点为第 2 层,以此类推

树的高度或深度 :树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为 4

以下概念了解一下就可以:

非终端结点或分支结点 :度不为 0 的结点; 如上图: D E F G... 等节点为分支结点

兄弟结点 :具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图: B C 是兄弟结点

堂兄弟结点 :双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图: H I 互为兄弟结点

结点的祖先 :从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图: A 是所有结点的祖先

子孙 :以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是 A 的子孙

森林 :由 m m>=0 )棵互不相交的树组成的集合称为森林

三、二叉树

二叉树的每个节点要么最多有两个孩子

两种特殊的二叉树

满二叉树:一棵二叉树,如果每层的结点数都达到最大值,则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一棵二叉树的层数为K,且结点总数是 2^k - 1,则它就是满二叉树

完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质

1.若规定根结点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i - 1)(i>0)个结点

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1,则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k - 1(k>=0)

3.对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0n21

4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1)上取整

5. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i的结点有

i>0 双亲序号: (i-1)/2 i=0 i 为根结点编号 ,无双亲结点

2i+1<n ,左孩子序号: 2i+1 ,否则无左孩子

2i+2<n ,右孩子序号: 2i+2 ,否则无右孩子

这个性质主要用到以后的优先级队列(堆)里面!

 

 四、链式存储实现的二叉树

孩子表示法:

class TreeNode{
    public TreeNode left;//左孩子引用
    public TreeNode right;//右孩子引用

    public char val;
    public TreeNode(char val){
        this.val = val;
    }
}
public class BinaryTree {

    public TreeNode creat(){//创建 根节点
        TreeNode A = new TreeNode('A');
        TreeNode B = new TreeNode('B');
        TreeNode C = new TreeNode('C');
        TreeNode D = new TreeNode('D');
        TreeNode E = new TreeNode('E');
        TreeNode F = new TreeNode('F');
        TreeNode G = new TreeNode('G');
        TreeNode H = new TreeNode('H');

        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        E.right = H;
        C.left = F;
        C.right = G;
        return A;

    }

四种遍历方式

 

前序遍历:先打印

根节点->左孩子->右孩子

/*遍历思路
    List<Integer> list = new ArrayList<>();
    public List<Integer> preorder(TreeNode root) {
        if(root != null){//递归打印
            list.add(root.val);//先放入  根节点
            preorder(root.left);//左子树
            preorder(root.right);//右子树
        }
        
        return list;
    }*/
    /*子问题思路
    public List<Integer> preorder(TreeNode root) {
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        if(root == null)return list;
        list.add(root.val);//现房根节点
        List<Integer> leftList = preorder(root.left);
        list.addAll(leftList);//先放 根节点 的左树
        List<Integer> rightList = preorder(root.right);
        list.addAll(rightList);//再放 根节点的右树
        return list;

    }*/
    //非递归遍历
    public List<Integer> preorder(TreeNode root) {
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        TreeNode cur = root;//用此节点来遍历整棵树
        while(cur != null || !stack.isEmpty()){//每次遍历一棵树
            while(cur != null){
            stack.push(cur);
            list.add(cur.val);
            cur = cur.left;
        }
        TreeNode top = stack.pop();//用来记录每入栈棵树
        cur = top.right;
        }
        return list;
    }

中序遍历:先打印左子树-> 根节点-> 右子树

public List<Integer> inorder(TreeNode root) {
        //子问题递归
        /*List<Integer> list = new ArrayList<>();
        if(root == null)return list;
        
        List<Integer> leftList = inorder(root.left);
        list.addAll(leftList);//先放 根节点 的左树
        list.add(root.val);//根节点
        List<Integer> rightList = inorder(root.right);
        list.addAll(rightList);//再放 根节点的右树
        return list;*/
        //非递归遍历
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        TreeNode cur = root;
        while(cur != null || !stack.isEmpty()){
            while(cur != null){
            stack.push(cur);
            cur = cur.left;
        }
        
        TreeNode top = stack.pop();
        list.add(top.val);//先打印左子树   正好栈顶里面就是左子树
        cur = top.right;
        }
        return list;
    }

后序遍历:先打印左子树-> 右子树-> 根节点

public List<Integer> postorder(TreeNode root) {
        /*List<Integer> list = new ArrayList<>();
        if(root == null)return list;
        
        List<Integer> leftList = postorder(root.left);
        list.addAll(leftList);//先放 根节点 的左树
        
        List<Integer> rightList = postorder(root.right);
        list.addAll(rightList);//再放 根节点的右树
        list.add(root.val);//根节点
        return list;*/
        //非递归遍历
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        TreeNode cur = root;
        TreeNode prev = null;
        while(cur != null || !stack.isEmpty()){
            while(cur != null){
            stack.push(cur);
            cur = cur.left;
        }
        TreeNode top = stack.peek();//栈顶节点
        if(top.right == prev || top.right == null){//定义prev每次都指向上一个出栈的节点,如果有父子关系就再让cur指向新的节点防止死循环
            stack.pop();
            list.add(top.val);
            prev = top;
        }else{
            cur = top.right;
        }
        }
        return list;

    }

层序遍历:一层一层按顺序打印

public void level(TreeNode root){
        if(root == null)return;
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();//使用队列先放根不为空出根放其左右孩子直至所有树完成遍历
        queue.offer(root);
        while(!queue.isEmpty()){
            TreeNode cur = queue.poll();
            System.out.print(cur.val + " ");
            if(cur.left != null){
                queue.offer(cur.left);
            }
            if(cur.right != null){
                queue.offer(cur.right);
            }
        }
    }

其他的一些操作

    所有节点  递归
    int count = 0;
    public int size(TreeNode root){
        if(root != null){
            count ++;
            size(root.left);
            size(root.right);
        }
        return count;
    }

    //子问题思路
    public int size1(TreeNode root){
        int count = 0;
        if(root == null)return count;

        int count1 = size1(root.left);
        count += count1;
        int count2 = size1(root.right);
        count += count2;
        return count + 1;
    }

    //寻找叶子结点
    public int getLeafNodeCount(TreeNode root){
        if(root == null)return 0;
        if(root.left == null && root.right == null){
            return 1;//是叶子节点
        }
        return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);
    }
    //寻找k层节点个数
    public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){
        if(root == null || k <= 0)return 0;
        if(k == 0){
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left,k - 1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }
    //树的深度
    public int getHeight(TreeNode root){
        if(root == null)return 0;
        //空间复杂度是树的高度 时间复杂度是O(n)
        return Math.max(getHeight(root.left) + 1,getHeight(root.right) + 1);//使用三目运算符一定不能让递归次数太多

    }
    //寻找某一节点
    public TreeNode find(TreeNode root,char val){
        if(root == null)return null;
        if(root.val == val)return root;//找到了就直接返回
        TreeNode ret = find(root.left,val);//左子树
        if(ret != null){
            return ret;
        }
        ret = find(root.right,val);//右子树
        if(ret != null){
            return ret;
        }
        return null;
    }


 

总结

       学好二叉树是非常重要的,不仅仅可以更好的理解递归,而且在以后的数据结构学习中也能更轻松的理解,优先级队列,红黑树,B树以后都是要更深层次的学习的,所以在二叉树这里要更为严谨认真的学懂!

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