【C++】二叉搜索树

今天我们来讲一种特殊的二叉树，二叉搜索树。学好二叉搜索树，有助于我们之后对map和set的理解与掌握。

目录

• • 二叉搜索树概念
  • 二叉搜索树操作
  • • 1. 查找
    • 2. 插入
    • 3. 删除
  • 二叉搜索树实现
  • 二叉搜索树应用
  • 二叉搜索树性能分析

二叉搜索树概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树

二叉搜索树操作

对于二叉搜索树的大部分操作，我们大都有通过循环和递归两种方式来实现。不过递归的栈消耗较大，虽然代码比较简洁，我依旧推崇非递归的写法。

1. 查找

查找比较简单，因为二叉搜索树鲜明的特性，我们只要不断将待查找节点与树中的节点比较即可：

1.循环法

Node* find(const K& key) {
			if (_root == nullptr) {
				return false;
			}
			Node* cur = _root;
			while (cur) {
				if (cur->_key < key) {
					cur->_right;
				}
				else if(cur->_key>key) {
					cur->_left;
				}
				else {
					return cur;
				}
			}
			return nullptr;
		}

2. 递归法

Node* _findR(Node* root, const K& key) {
			if (root == nullptr) {
				return nullptr;
			}
			else {
				if (cur->_key < key) {
					return _findR(cur->_right, key);
				}
				else if (cur->_key > key) {
					return _findR(cur->_right, key);
				}
				else {
					return cur;
				}
			}
		}

2. 插入

插入的思路分为两步：第一不是找到要插入的位置，然后创建节点进行插入。

循环写法：

//插入
		bool insert(const K& key)
		{

			if (_root == nullptr) {
				_root = new Node(key);
				return true;
			}

			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;

			while (cur) {
				if (cur->_key < key) {
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key) {
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else {
					return false;
				}
			}

			cur = new Node(key);
			if (cur->_key > parent->_key) {
				parent->_right = cur;
			}
			else {
				parent->_left = cur;
			}

			return true;
		}

递归写法：

//递归版插入
		bool _insertR(Node* &root,const K& key) {
			if (root == nullptr) {
				root = new Node(key);
				return true;
			}
			Node* cur = root;
			else{

				if (cur->_key > key) {
					return insertR(cur->_left, key);
				}
				else if(cur->_key<key){
					return insertR(cur->_right, key);
				}
				else {
					return false;
				}
			}   
		}

3. 删除

删除是二叉排序树的一个难点，我们删除的同时不能破坏其性质，我们对于不同的情况要具体分析：

对于要被删除的节点：

1. 没有子节点（叶子节点）
   这种情况最简单，直接删除即可，不会影响其他节点

2. 有一个节点
   这种情况下，我们将待删节点的父节点 指向 待删节点的子节点即可，然后再讲待删节点删掉。

3. 有两个节点
   对于有两个子节点的情况，我们需要使用“替代删除法”。
   我们需要找到删除节点的右子树最小值，或者左子树最大值，并将找到的值赋值给待删除节点，然后再将右子树最小值，或者左子树最大值删除。

循环写法：

bool erase(const K& key) {
			
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;

			while (cur) {
				if (cur->_key < key) {
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key) {
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else {
					
					if (cur->_left == nullptr) {
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else {
							if (parent->_left == cur) {
								parent->_left = cur->_right;
							}
							else {
								parent->_right = cur->_right;
							}
						}
						delete cur;
					}
					else if (cur->_right == nullptr) {
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else {
							if (parent->_left == cur) {
								parent->_left = cur->_left;
							}
							else {
								parent->_right = cur->_left;
							}
						}
						
						delete cur;
					}
					else {
						Node* minRightParent = cur;
						Node* minRight = cur->_right;

						while (minRight->_left) {

							minRightParent = minRight;
							minRight = minRight->_left;
						}
						cur->_key = minRight->_key;

						if (minRightParent->_left == minRight) {
							minRightParent->_left = minRight->_right;
						}
						else {
							minRightParent->_right = minRight->_right;
						}
						delete minRight;
					}
					return true;
				}
			}
			return false;

		}

递归写法：

bool _eraseR(Node* &root, const K& key) {
			if (root == nullptr)
				return false;

			if (root->_key < key) {
				return _eraseR(root->_right, key);
			}
			else if (root->_key > key) {
				return _eraseR(root->_left, key);
			}
			else {
				Node* del = root;
				if (root->_left == nullptr) {
					root = root->_right;
				}
				else if (root->_right == nullptr) {
					root = root->_left;
				}
				else {
					Node* minRight = root->_right;
					while (minRight->_left) {
						minRight = minRight->_left;
					}
					root->_key = minRight->_key;

					return _eraseR(root->_right, minRight->_key);
				}
				delete del;
				return true;

			}
		}

二叉搜索树实现

对于一个完整的二叉搜索树。我们还要加上拷贝构造和赋值拷贝以及销毁，析构函数等等。这里不再一一赘述了，直接贴出完整的代码：

#pragma once


namespace yyk
{
	template<class K>
	struct BSTreeNode
	{
		BSTreeNode<K>* _left;
		BSTreeNode<K>* _right;
		K _key;

		BSTreeNode(const K& key)
			:_left(nullptr),
			_right(nullptr),
			_key(key)
		{}
	};

	template<class K>
	class BSTree
	{
		typedef BSTreeNode<K> Node;
	public:
		BSTree()
			:_root(nullptr)
		{}

		//拷贝构造
		BSTree(const BSTree<K>& t)
		{
			_root = _copyR(t._root);
		}

	    // 赋值拷贝
		BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
		{
			std::swap(_root, t._root);
			return *this;
		}

		//析构函数
		~BSTree()
		{
			_Destroy(_root);
		}


		//插入
		bool insert(const K& key)
		{

			if (_root == nullptr) {
				_root = new Node(key);
				return true;
			}

			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;

			while (cur) {
				if (cur->_key < key) {
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key) {
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else {
					return false;
				}
			}

			cur = new Node(key);
			if (cur->_key > parent->_key) {
				parent->_right = cur;
			}
			else {
				parent->_left = cur;
			}

			return true;
		}
		//查询
		Node* find(const K& key) {
			if (_root == nullptr) {
				return false;
			}
			Node* cur = _root;
			while (cur) {
				if (cur->_key < key) {
					cur->_right;
				}
				else if(cur->_key>key) {
					cur->_left;
				}
				else {
					return cur;
				}
			}
			return nullptr;
		}
		//删除
		bool erase(const K& key) {
			
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;

			while (cur) {
				if (cur->_key < key) {
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key) {
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else {
					
					if (cur->_left == nullptr) {
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else {
							if (parent->_left == cur) {
								parent->_left = cur->_right;
							}
							else {
								parent->_right = cur->_right;
							}
						}
						delete cur;
					}
					else if (cur->_right == nullptr) {
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else {
							if (parent->_left == cur) {
								parent->_left = cur->_left;
							}
							else {
								parent->_right = cur->_left;
							}
						}
						
						delete cur;
					}
					else {
						Node* minRightParent = cur;
						Node* minRight = cur->_right;

						while (minRight->_left) {

							minRightParent = minRight;
							minRight = minRight->_left;
						}
						cur->_key = minRight->_key;

						if (minRightParent->_left == minRight) {
							minRightParent->_left = minRight->_right;
						}
						else {
							minRightParent->_right = minRight->_right;
						}
						delete minRight;
					}
					return true;
				}
			}
			return false;

		}
		void InOrder() {
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}

		void insertR(const K& key) {
			_insertR(_root,key);
		}

		void findR(const K& key) {
			_findR(_root, key);
		}

		void eraseR(const K& key) {
			_eraseR(_root, key);
		}
		

	private:
        //中序遍历
		void _InOrder(Node*	root) {
			if (root == nullptr) {
				return;
			}
			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << " ";
			_InOrder(root->_right);
		}

		//递归版插入
		bool _insertR(Node* &root,const K& key) {
			if (root == nullptr) {
				root = new Node(key);
				return true;
			}
			Node* cur = root;
			else{

				if (cur->_key > key) {
					return insertR(cur->_left, key);
				}
				else if(cur->_key<key){
					return insertR(cur->_right, key);
				}
				else {
					return false;
				}
			}   
		}
		//递归版查找
		Node* _findR(Node* root, const K& key) {
			if (root == nullptr) {
				return nullptr;
			}
			else {
				if (cur->_key < key) {
					return _findR(cur->_right, key);
				}
				else if (cur->_key > key) {
					return _findR(cur->_right, key);
				}
				else {
					return cur;
				}
			}
		}
		//递归版删除
		bool _eraseR(Node* &root, const K& key) {
			if (root == nullptr)
				return false;

			if (root->_key < key) {
				return _eraseR(root->_right, key);
			}
			else if (root->_key > key) {
				return _eraseR(root->_left, key);
			}
			else {
				Node* del = root;
				if (root->_left == nullptr) {
					root = root->_right;
				}
				else if (root->_right == nullptr) {
					root = root->_left;
				}
				else {
					Node* minRight = root->_right;
					while (minRight->_left) {
						minRight = minRight->_left;
					}
					root->_key = minRight->_key;

					return _eraseR(root->_right, minRight->_key);
				}
				delete del;
				return true;

			}
		}
		//递归版拷贝函数
		Node* _copyR(Node* root) {
			if (root == nullptr) {
				return nullptr;
			}

			Node* newRoot = new Node(root->_key);
			newRoot->_left = _copyR(root->_left);
			newRoot->_right = _copyR(_root->_right);

			return newRoot;
		}
	    //递归版销毁函数
		void _Destroy(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}

			_Destroy(root->_left);
			_Destroy(root->_right);
			delete root;
		}


		Node* _root = nullptr;
	};
}

二叉搜索树应用

1. K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：

• 以单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
• 在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误

2. KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对。
   比如：实现一个简单的英汉词典dict，可以通过英文找到与其对应的中文，具体实现方式如下：

• <单词，中文含义>为键值对构造二叉搜索树，注意：二叉搜索树需要比较，键值对比较时只比较Key
• 查询英文单词时，只需给出英文单词，就可快速找到与其对应的key

namespace KEY_VALUE
{
	template<class K, class V>
	struct BSTreeNode
	{
		BSTreeNode<K, V>* _left;
		BSTreeNode<K, V>* _right;
		K _key;
		V _value;

		BSTreeNode(const K& key, const V& value)
			: _left(nullptr)
			, _right(nullptr)
			, _key(key)
			, _value(value)
		{}
	};

	template<class K, class V>
	class BSTree
	{
		typedef BSTreeNode<K, V> Node;
	public:
		V& operator[](const K& key)
		{
			pair<Node*, bool> ret = Insert(key, V());
			return ret.first->_value;
		}

		pair<Node*, bool> Insert(const K& key, const V& value)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key, value);
				return make_pair(_root, true);
			}

			// 查找要插入的位置
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return make_pair(cur, false);
				}
			}

			cur = new Node(key, value);
			if (parent->_key < cur->_key)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
			}

			return make_pair(cur, true);
		}

		Node* Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return cur;
				}
			}

			return nullptr;
		}

		bool Erase(const K& key)
		{
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;

			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					// 删除
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							if (cur == parent->_left)
							{
								parent->_left = cur->_right;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_right;
							}
						}

						delete cur;
					}
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							if (cur == parent->_left)
							{
								parent->_left = cur->_left;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_left;
							}
						}

						delete cur;
					}
					else
					{
						// 找到右树最小节点去替代删除
						Node* minRightParent = cur;
						Node* minRight = cur->_right;
						while (minRight->_left)
						{
							minRightParent = minRight;
							minRight = minRight->_left;
						}


						cur->_key = minRight->_key;

						if (minRight == minRightParent->_left)
							minRightParent->_left = minRight->_right;
						else
							minRightParent->_right = minRight->_right;

						delete minRight;
					}

					return true;
				}
			}

			return false;
		}

		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}
	private:
		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}

			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << ":"<<root->_value<<endl;
			_InOrder(root->_right);
		}
	private:
		Node* _root = nullptr;
	};
}

KEY_VALUE 的两个应用：

1. 辞典

void TestBSTree2()
{
	KEY_VALUE::BSTree<string, string> dict;
	dict.Insert("sort", "排序");
	dict.Insert("insert", "插入");
	dict.Insert("tree", "树");
	dict.Insert("right", "右边");
	// ...
	string str;
	while (cin >> str)
	{
		if (str == "Q")
		{
			break;
		}
		else
		{
			auto ret = dict.Find(str);
			if (ret == nullptr)
			{
				cout << "拼写错误，请检查你的单词" << endl;
			}
			else
			{
				cout << ret->_key << "->" << ret->_value << endl;
			}
		}
	}
}

2. 统计各个单词个数

void TestBSTree3()
{
	// 统计字符串出现次数，也是经典key/value
	string str[] = { "sort", "sort", "tree", "insert", "sort", "tree", "sort", "test", "sort" };
	KEY_VALUE::BSTree<string, int> countTree;
	//方法一：
	for (auto& e : str)
	{
		auto ret = countTree.Find(e);
		if (ret == nullptr)
		{
			countTree.Insert(e, 1);
		}
		else
		{
			ret->_value++;
		}
	}
    
    // 方法二：
	/*for (auto& e : str)
	{
		countTree[e]++;
	}*/

	countTree.InOrder();
}

二叉搜索树性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。

对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。

但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为：log2 N
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树，其平均比较次数为 N/2

问题：如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进，不论按照什么次序插入关键码，都可以是二叉搜索树的性能最佳？答案是存在的，但是我们之后再介绍。