任何时间序列都可以表示为在 谐波 频率上振荡的余弦和正弦波之和= j / n，其中j = 1,2，...，n / 2。周期图给出了关于各种频率的相对强度的信息，用于解释时间序列的变化。
周期图是称为谱密度 函数的样本估计，其是群体平稳时间序列的频域表征。谱密度是与自协方差时域表示直接相关的时间序列的频域表示。本质上，谱密度和自协方差函数包含相同的信息，但以不同的方式表达。
估计光谱密度的方法
原始周期图是人口谱密度的粗略样本估计。估计是“粗略的”，部分是因为我们只使用离散的基波谐波频率用于周期图，而频谱密度是在连续的频率上定义的。
平滑方法（光谱密度的非参数估计）
在R中，可以使用命令kernel 生成m = 2 的Daniell内核的加权系数。 结果是
coef [-2] = 0.2
coef [-1] = 0.2
coef [0] = 0.2
coef [1] = 0.2
coef [2] = 0.2
coef []的下标是指与时间t的平均值中心的时差。
在R中，命令 （“daniell”，c（2,2））将提供系数，这些系数将作为权重应用于对两个平滑中m = 2 的回旋Daniell内核的原始数据值求平均值。结果是
coef [-4] = 0.04
coef [-3] = 0.08
coef [-2] = 0.12
coef [-1] = 0.16
coef [0] = 0.20
coef [ 1] = 0.16
coef [2] = 0.12
coef [3] = 0.08
coef [4] = 0.04
这会生成平滑公式
^ x t=0.04xt-4+0.08xt-3+0.12xt-2+0.16xt-1+0.20xt+0.16xt+1+0.12xt+2+0.08xt+3+0.04xt+4。
x^t=0.04xt−4+0.08xt−3+0.12xt−2+0.16xt−1+0.20xt+0.16xt+1+0.12xt+2+0.08xt+3+0.04xt+4.
命令 （“modified.daniell”，c（2,2）） 给出了这些系数：
coef [-4] = 0.01563
coef [-3] = 0.06250
coef [-2] = 0.12500
coef [-1] = 0.18750
coef [0] = 0.21875
coef [1] = 0.18750
coef [2] = 0.12500
coef [3] = 0.06250
coef [4] = 0.01563
当我们平滑周期图时，我们在频率间隔而不是时间间隔上进行平滑。
带宽
带宽应该足以平滑我们的估计，但是如果我们使用太大的带宽，我们将过多地平滑周期图并且错过看到重要的峰值。在实践中，通常需要一些实验来找到提供合适平滑的带宽。
R代码
使用Daniell内核对周期图进行平均/平滑可以使用两个命令的序列在R中完成。第一个定义了Daniell内核，第二个定义了平滑周期图。
例如，假设观察到的序列被命名为x，我们希望使用具有m = 4的Daniell内核来平滑周期图。命令是
mvspec（x，k，log =“no”）
第一个命令创建平滑所需的加权系数，并将它们存储在名为k的向量中。 第二个命令要求基于系列x的周期图的谱密度估计，使用存储在k中的加权系数，该图将是普通的比例，不是对数刻度。
如果需要卷积，则可以将内核命令修改为类似k = kernel（“daniell”，c（4,4）） 。
例如，m = 4 的修改后的Daniell内核长度L = 2 m +1 = 9，因此我们可以使用该命令
mvspec（x，spans = 9，log =“no”）
可以使用每次通过m = 4 的修改的Daniell内核的两次通过
mvspec（x，spans = c（9,9），log =“no”）
可以使用命令创建原始周期图（或者可以使用第6课中给出的方法创建原始周期图）。
mvspec（x，log =“no”）
请注意，在刚刚给出的命令中，我们省略了为平滑提供权重的参数。
abline（v = 1/44，lty =“dotted”）abline（v = 1/12，lty =“dotted”）
这是结果图：
mvspec（x，spans = c（13,13），log =“no”）
这使用两次修改的Daniell内核，每次长度L = 13（所以m = 6）。
mvspec（x，spans = 73，log =“no”）
结果如下。高峰消失
