硬币面值组合（上台阶）

　假设我们有8种不同面值的硬币｛1，2，5，10，20，50，100，200｝，用这些硬币组合够成一个给定的数值n。问总过有多少种可能的组合方式？ 类似的题目还有：

　　[华为面试题] 1分2分5分的硬币三种，组合成1角，共有多少种组合

　　[创新工厂笔试题] 有1分，2分，5分，10分四种硬币，每种硬币数量无限，给定n分钱，有多少中组合可以组成n分钱

• 一个人上台阶可以一次上1个，2个，或者3个，问这个人上n层的台阶，总共有几种走法？ 
  问法不一样，但是本质一样！

1.方法一

深度搜索解答树

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int coin[4] = { 1, 2, 5, 10 };
vector<int> solution;
int cnt = 0;
int sum = 0;

int target = 0;

void dfs(int index){
  if (sum == target){
    cnt++;

    for (int i = 0; i<solution.size(); i++){
      cout << solution[i];
    }
    cout << endl;
    return;
  }
  if (sum > target){
    return;
  }

  for (int i = index; i < 4; i++){// index,否则有重复
    sum += coin[i];
    solution.push_back(coin[i]);
    dfs(i);
    solution.pop_back();
    sum -= coin[i];
  }

}

int main(){

  cnt = 0;
  sum = 0;

  target = 5;

  dfs(0);

  cout << "cnt=" << cnt << endl;

  return 0;
}

结果为4

2.方法二-动态规划

给定一个数值sum，假设我们有m种不同类型的硬币{V1, V2, ..., Vm}，如果要组合成sum，那么我们有

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + xm * Vm 

求所有可能的组合数，就是求满足前面等值的系数{x1, x2, ..., xm}的所有可能个数。

dp[i][sum] = 用前i种硬币构成sum 的所有组合数。

　　那么题目的问题实际上就是求dp[m][sum]，即用前m种硬币（所有硬币）构成sum的所有组合数。

dp[i][sum] = dp[i-1][sum - 0*Vm] + dp[i-1][sum - 1*Vm]

+ dp[i-1][sum - 2*Vm] + ... + dp[i-1][sum - K*Vm]; 其中K = sum / Vm

那么初始情况是什么呢？如果sum=0，那么无论有前多少种来组合0，只有一种可能，就是各个系数都等于0；

dp[i][0] = 1   // i = 0, 1, 2, ... , m

我们规定为dp[0][sum] = 0. 

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;


int coinCombination(int coin[], int coinKinds, int target){
  vector<vector<int> >dp(coinKinds + 1, vector<int>(target + 1));

  for (int i = 0; i <= coinKinds; i++){
    dp[i][0] = 1;
  }

  dp[0][target] = 0;

  for (int i = 1; i <= coinKinds; i++){
    for (int j = 1; j <= target; j++){
      dp[i][j] = 0;
      for (int k = 0; k <= j / coin[i - 1]; k++){//<=
        dp[i][j] += dp[i - 1][j - k*coin[i - 1]];//+=
      }
    }
  }

  return dp[coinKinds][target];
}


int main(){

  int coin[4] = { 1, 2, 5, 10 };

  cout << coinCombination(coin, 4, 5) << endl;

  return 0;
}