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插值与拟合
插值：给定一组数据，需要确定满足特定要求的曲线，如果所求曲线通过所给定有限个数据点【有时由于给定的数据存在的数据存在测量误差，往往具有一定的随机性】
曲线拟合：如若不要求曲线通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化态势，得到简单实用的近似函数。
而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时并不明显。
插值方法
适用对象：
不用给出具体的函数关系，根据已有数据预测其他数据即可使用插值算法。
插值法特点：
插值法的用途：
- 根据数据做预测，或者根据局部情况估计整体分布
- 图形化呈现计算结果
缺点：
不能给出明确函数关系，一般用于对数据的概括性描述，从中发现分布特征。
线性拟合
多项式拟合的局限性：
- 不管最高幂次为偶数还是奇数且其系数为正、负 都不能保证经过每一个已知节点！
其他数据拟合方法：
- 数据具有指数函数特征，则考虑用y=be的ax来拟合
插值算法
拟合算法
例1：求估计值
[^1]这是录在excel中的数据，即为观测点数据.xlsx
import pandas as pd
import numpy as np
from scipy.interpolate import lagrange
d = pd.read_excel('观测点数据.xlsx', header=None)
z = d.values
xi = z[0][1:]
yi = z[1][1:]
# 求拉格朗日插值多项式的系数
xs = lagrange(xi, yi)
print('从高次幂到低次幂的系数位：', np.round(xs, 4))
hsz2 = np.polyval(xs, [1.5, 2.6])
print('估计值为：', np.round(hsz2, 4))
运行结果如下：
或
用拉格朗日插值
（运行结果同上）
# 用拉格朗日插值
import numpy as np
from scipy.interpolate import lagrange
xi = np.arange(1, 7)
yi = np.array([16, 18, 21, 17, 15, 12])
# 求拉格朗日插值多项式的系数
xs = lagrange(xi, yi)
print('从高次幂到低次幂的系数位：', np.round(xs, 4))
hsz2 = np.polyval(xs, [1.5, 2.6])
print('预测值为：', np.round(hsz2, 4))
亦或
（插值数形结合）
【运行结果也同上】
import numpy as np
import pylab as plt
xi = np.arange(1, 7)
yi = np.array([16, 18, 21, 17, 15, 12])
v = np.vander(xi)
# 求插值多项式的系数
l = np.linalg.inv(v) @ yi
print('从高次幂到低次幂的系数为：', np.round(l, 4))
# 计算函数值
hsz = np.polyval(l, [1.5, 2.6])
print('预测值为：', np.round(hsz, 4))
plt.plot(xi, yi, 'o')
# 画出已知数据点的散点
li = np.linspace(1, 6, 100)
# 画插值曲线
plt.plot(li, np.polyval(l, li))
plt.show()
运行效果图如下：
例2：求最小值
【机床加工】
相关程序代码如下：
import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d, lagrange
import pylab as plt
a = np.loadtxt('data.txt')
x0 = a[0]
y0 = a[1]
x = np.linspace(0, 15, 151)
# 分段线性插值
f = interp1d(x0, y0)
# 计算插值点的函数值
z = f(x)
# 计算拉格朗日插值
lg = lagrange(x0, y0)
z2 = np.polyval(lg, x)
f3 = interp1d(x0, y0, 'cubic')
z3 = f3(x)
dx = np.diff(x)
dy = np.diff(z3)
dyx = dy/dx
dyx0 = dyx[0]
print("x=0处斜率的数值解为：", dyx0)
xz = x[130:]
yz = z3[130:]
ymin = min(yz)
xmin = [xz[ind] for ind, v in enumerate(yz) if v == ymin]
print("xmin=", xmin)
print("ymin=", ymin)
# 用来正常显示中文标签
plt.rc('font', family='SimHei')
# 用来正常显示负号
plt.rc('axes', unicode_minus=False)
# 调各子图水平间距
plt.subplots_adjust(wspace=0.5)
plt.subplot(131)
plt.plot(x, z)
plt.title("分段线性插值")
plt.subplot(132)
plt.plot(x, z2)
plt.title("拉格朗日插值")
plt.subplot(133)
plt.plot(x, z3)
plt.title("三次样条插值")
plt.show()
运行结果如下：
运行效果图如下：
例3：求最优解：
题述：已知x, y的观测值如下表，用给定数据拟合函数y=aex+blnx,且满足a>=0, b>=0, a+b<=1。
excel文件准备：
相关程序代码如下：
import numpy as np
import cvxpy as cp
import pandas as pd
lxw = pd.read_excel("x, y的观测值.xlsx", header=None)
lxw = lxw.values
x0 = lxw[0]
y0 = lxw[1]
nh = cp.Variable(2, pos=True)
t = np.vstack([np.exp(x0), np.log(x0)]).T
obj = cp.Minimize(cp.sum_squares(t @ nh - y0))
con = [sum(nh) <= 1]
prob = cp.Problem(obj, con)
prob.solve(solver='CVXOPT')
print("最优解为：\n", nh.value) # 最优解为：[4.77938762e-04 9.99522183e-01]
例4：求拟合值：
题述：用下表的数据拟合函数z=aebx+cy2。
提示：须提前在终端下载numpy和scipy
numpy 安装命令：pip install numpy
scipy 安装命令：pip install scipy
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
xy0 = np.array([
[6, 2, 6, 7, 4, 2, 5, 9],
[4, 9, 5, 3, 8, 5, 8, 2]
])
z0 = np.array([5, 2, 1, 9, 7, 4, 3, 3])
z = lambda t, a, b, c: a*np.exp(b*t[0])+c*t[1]**2
p, pco = curve_fit(z, xy0, z0)
print('a, b, c的拟合值为：', p)
# 运行结果为： a, b, c的拟合值为： [ 5.08907305e+00 -2.58248004e-03 -2.14509683e-02]
