图的拓扑排序

简介

AOV网

在一个表示工程（例如拍戏、教学安排）的有向图中，用顶点表示活动（每个阶段该做的事情），用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的网叫做AOV网（Activity On vertex NetWord)。AOV网中的弧表示活动之间存在某种制约关系。并且AOV网中不能出现回路。
举个例子：拍戏这个工程，必须先把剧本给定好，然后再开始挑演员，选场地，进行拍摄，一步一步来，不能在拍摄过程中场地还没安排好就开始拍摄，也就是说拍摄的前提必须时场地给选好了。

拓扑序列

设G=(V,E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列V1,V2,V…满足若从顶点Vi到Vj有一条路径，则在顶点序列中顶点Vi比在顶点Vj之前。则经这样一个序列成为拓扑序列。

例如：

结点1必须在结点2、3之前
结点2必须在结点3、4之前
结点3必须在结点4、5之前
结点4必须在结点5之前
则一个满足条件的拓扑序列为[1, 2, 3, 4, 5]
而这样的序列可能不止一条。

拓扑排序

拓扑排序就是对一个有向图构造拓扑序列的过程。

拓扑排序的前提

必须是一个有向无环图(directed acyclic graph，DAG)

为什么说必须是有向无环图呢，看如下例子

假设想从A开始，而根据拓扑排序原理，C在A的前面，那应该从C开始，而不是A，同样的B又排在C的前面，那也应该是从B开始而不是A或C…这样就分不清到底是从哪个点开始的，也就导致分不清顶点优先级。

基本思路

为了说明如何得到一个有向无环图的拓扑排序，我们首先需要了解有向图结点的入度(indegree)和出度(outdegree)的概念。
假设有向图中不存在环，也就是不存在起点和重点为统一结点的有向边。

入度: 设有向图中有一结点v，其入度即为当前所有从其他结点出发，终点为v的的边的数目。也就是所有指向v的有向边的数目。
出度: 设有向图中有一结点v，其出度即为当前所有起点为v，指向其他结点的边的数目。也就是所有由v发出的边的数目。

• 基本思路
  （1）选择一个入度为0的顶点并输出
  （2）从AOV网中删除此顶点及所有出边。

代码实现

• 链表实现

    //拓扑排序
    public ArrayList<String> topSort(){
        //该数组存储各个顶点的入度值
        int[] inDegree = new int[numOfVertex];

        EdgeNode v;

        //初始化所有入度值
        for(VertexNode vertex : headVertex){
            v = vertex.firstEdge;
            while(v!=null){
                inDegree[v.EdgeData]++;
                v = v.nextEdge;
            }
        }

        //定义一个队列，存储入度为0的结点数据值
        Deque<String> deque = new ArrayDeque<>();

        //定义一个集合，存储出栈的值
        ArrayList<String> list = new ArrayList<>();

        //将所有入度为0的结点入队
        for(int i = 0; i<numOfVertex; i++){
            if(inDegree[i] == 0){
                deque.offer(headVertex[i].vertexData);
            }
        }

        //当队列中存在元素时
        while(!deque.isEmpty()){
            //让最先入队的出队
            String curr = deque.poll();
            //出队后的元素用集合接收
            list.add(curr);
            //根据结点数据域获取入队为0的顶点的下标
            int index = getIndexByString(curr);
            //利用下标获取对应顶点
            VertexNode vertex = headVertex[index];

            EdgeNode e = vertex.firstEdge;
            //遍历该顶点的邻接表
            while(e != null){
               int k = e.EdgeData;
               //每次父节点弹出队列后，其直接子节点的入度减少
               inDegree[k]--;
               if(inDegree[k] == 0){
                   deque.offer(headVertex[k].vertexData);
               }
               e = e.nextEdge;
            }
        }

        //如果list集合元素个数等于顶点个数，表示拓扑排序完成，没有环存在，反之不等于时表示图中存在环，则返回空集合
        return list.size() == numOfVertex ? list : new ArrayList<>();
    }