第 45 届国际大学生程序设计竞赛（ICPC）亚洲区域赛（济南）：签到题A Matrix Equation（高斯消元求线性异或方程组自由元个数）

problem

• 给出两个n*n的01矩阵，A和B
• 定义两种运算，Z(i,j)=Xi行*Yj列相加%2，D(i,j)=X(i,j)*Y(i,j)
• 求最多有多少个可能的矩阵C，满足A运算1C==B运算2C。

solution

思路：（明天接着补）

• A和B相同等价于A(i,j)异或B(i,j)为0.
• Xi行Yj列相加%2 等价于 Xi行Yj列相互异或（异或方程组）
• 
  

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 255;
const int mod = 998244353;
LL pows(LL x, LL y, LL mod){
  LL res = 1;
  while(y>0){
    if(y&1)res = res*x%mod;
    x = x*x%mod;
    y >>= 1;
  }
  return res%mod;
}

int n, a[maxn][maxn], b[maxn][maxn];
int t[maxn][maxn]; //增广矩阵
int Gauss(){
  //用第i个式子消去第i个系数，求得倒三角
  int cnt = 0;//表示行,这样在当前系数全为零时也能继续算下一个系数
  for(int i = 0; i < n; i++){
    int r = cnt;
    while(r<n && !t[r][i])r++;
    if(r==n)continue;
    if(r!=cnt)swap(t[r],t[cnt]);
    
    for(int j = cnt+1; j < n; j++){
      if(t[j][i]!=0){
        for(int k = i; k < n+1; k++)
          t[j][k] ^= t[cnt][k];
      }
    }
    cnt++;
  }
  
  //无解:存在(0,0,...,t)这样的行,且a!=0
  //无穷解:出现(0,0,...,0)这样的行
  int num = 0; //自由元
  for(int i = 0; i < n; i++){
    int ok = 1;
    for(int j = 0; j < n; j++){
      if(t[i][j] != 0){
        ok = 0; break;
      }
    }
    if(ok==1){
      if(t[i][n]==0)num++;
      if(t[i][n]!=0)return -1;
    }
  }
  return num;
}

int main(){
  cin>>n;
  for(int i = 0; i < n; i++)
    for(int j = 0; j < n; j++)
      cin>>a[i][j];
  for(int i = 0; i < n; i++)
    for(int j = 0; j < n; j++)
      cin>>b[i][j];
  memcpy(t,a,sizeof(t));
  LL ans = 1;
  for(int i = 0; i < n; i++){
    memcpy(t,a,sizeof(t));
    for(int j = 0; j < n; j++)
      t[j][j] = (a[j][j]-b[j][i]+2)%2;
    int free = Gauss();
    if(free==-1)continue;
    ans = ans*pows(2,free,mod)%mod;
  }
  cout<<ans<<"\n";
  return 0;
}