树

1. 树是一种数据结构，比如目录结构

2. 数是一种可以递归定义的数据结构

3. 树是由n个节点组成的集合：

如果n=0,那这是一棵空树
如果n>0，那存在1个节点作为树的根节点，其他节点可以分为m个集合，每个集合本身又是一棵树。

根节点：A就是根节点

叶子节点：不能分叉的节点（叶子）

树的深度（高度）：4

节点E的度：2

树的度：树中节点最多的度，6

孩子节点/父节点： E 为 I 的父节点，I 为 E 的节点

子树：树的某个分支

二叉树

度不超过 2 的树，每个节点最多有两个孩子节点。两个孩子节点被区分为左孩子结点和右孩子节点。

堆是一个特殊的二叉树

二叉树的存储方式（表示方式）：怎么实现一个二叉树

链式存储方式（数据结构部分讲解）
顺序存储方式（堆排序中）

一. 堆排序：

1. 堆：一种特殊的完全二叉树结构（全满但最好一排后边可以少）。

大堆根：一棵完全二叉树，满足任一节点都比其他孩子节点大。
小堆根：一棵完全二叉树，满足任一节点都比其孩子节点小。

可以将其形象的看作市长、县长、村长、村民。以下以大根堆为例。

父节点找子节点和子节点找父节点：

知道孩子节点下标为n，则其父结点下标为：(n-1)//2。

2. 堆的向下调整----构建堆的基础：

假设：根节点的左右子树都是堆，但根节点不满足根的性质,那么可以通过一次向下的调整将其变成一个堆...... 向下调整顺序如下:

---->--->---->

当根节点的左右子树都是堆时,但自身不满足堆的性质. 可以通过一次向下调整来将其变换成一个堆

3. 堆构建好之后如何排序: 挨个出数

--拿出堆顶9----向下调整--

--再拿出堆顶----向下调整----再拿出堆顶,将2放到堆顶

改进：

堆相当于一个列表, 拿出来的堆顶元素放在另一个列表里很废内存, 秉持着能省则省的原则, 我们不建议再创建一个列表去放堆顶元素。我们可以将堆顶元素和最后的元素互换位置，并且将堆最后的位置向前移动一位，如图：

------>

说明：3原本在最后一个元素，让3和9互换，然后将堆的位置下标变到4的位置下标（下标减1）。

4.如何构造堆

要建造堆, 首先要让下级先有序, 因此需要从最下面的根节点开始, 即最后一个非叶子节点开始. "农村包围城市战略"

先对最后一个非叶子节点做向下调整, 让他变成堆 ; 然后依次将前面的每个非叶子节点通过向下调整变成堆.

5.堆排序过程

6. 代码实现过程

向下调整函数：复杂度：O(log n)

# 向下调整函数
def sift(li,low,high):  #low表示二叉树的顶；high的作用是：防止j越界
    '''
    堆排序中的向下调整函数
    :param li:列表
    :param low: 堆的根节点位置
    :param high:堆的最后一个元素的位置，唯一的作用是防止 j 越界
    :return:
    '''
    i=low
    j=2*i+1 # j现在指的是左孩子结点
    tmp=li[low]
    while j <= high:   # 表示 j 不越界
        if j+1 <= high and li[j+1] > li[j]:  # 右孩子结点存在且更大
            j=j+1   # j指向右孩子结点
        if tmp < li[j]:
            li[i]=li[j]
            i=j   # i 指向下一层
            j=2*i+1
        else:  # 表示tmp>li[j]
            li[i]=tmp
            break
    else:   # 如果i到达叶子节点，最后一层，j已经出界
        li[i]=tmp

构建堆和排序（挨个出数）：复杂度：O(nlog n)

def heap_sort(li):
    # 构造堆：农村包围城市
    n=len(li)
    for i in range((n-2)//2,-1,-1): # i表示建堆的时候调整部分的根节点下标        #将这个小分支变成堆：进行向下调整
        sift(li,i,n-1)  # j唯一的作用就是防止j越界，high为最后一个元素时，也能满足该条件
    # 堆构造完成
    print(li)
    # 接下来就是排序：挨个出数
    for i in range(n-1,-1,-1):   # i指向堆的最后一个元素
        li[0],li[i]=li[i],li[0]   # 将最后一个元素和堆顶元素互换
        sift(li,0,i-1)    # 将没排序的数据 做向下调整，i-1是新的high

最终堆排序的时间复杂度：O(nlog n)