13.5 加权图Floyd-Warshall算法

  Dijkstra算法不能计算权重含有负数的图，所以需要别的算法。Floyd-Warshall就是这种算法。这个算法需要一个前提，图中没有负数距离的环存在。
  Floyd-Warshall算法的目的是输出所有点之间的最短距离。
  算法用到了动态规划思想，最重要的是中间点概念。中间点就是一个路径去掉首位后剩余的点。另外，使用一个距离数组来保存距离。距离数组是个三维数组。
  第一个维度是指路径用到了哪些点。d[0]是只用到了一个点的距离矩阵。
  这个三维数组的每一项都是一个二维数组，也就是距离矩阵。
  算法第一步是floyd-warshall分解
  这是个求动态规范子问题的过程。
  定义$D_{ij}^{(k)}$是i到j的最短路径，并且所有中间节点都在1~k的集合中。
  动态规划递归的思路是
  1 如果最短路径上没有k
  那么最短路径就是$D_{ij}^{k-1}$。
  2 如果最短路径上有k。
  那么最短路径就是$D_{ik}^{(k-1)}+D_{kj}^{(k-1)}$。
  所以递归步骤就是：
D i j ( k ) = m i n { D i j ( k − 1 ) , D i k ( k − 1 ) + D k j ( k − 1 ) } D_{ij}^{(k)}=min\{D_{ij}^{(k-1)},D_{ik}^{(k-1)}+D_{kj}^{(k-1)}\} Dij(k)​=min{Dij(k−1)​,Dik(k−1)​+Dkj(k−1)​}
  对于这个三维数组，就只能才用自底部向上的办法了。
  算法步骤如下：
  第一步 初始化k为0的矩阵
$$D_{ij}^0=W_{ij}$$
  因为递归是按k进行递归的
  所以依次计算$D^1$,$D^2$,$D^3$,一直到$D^n$矩阵。
  需要注意的是$D^1$是相当于编程中的数组的0索引，而$D^0$是最早初始化的。所以D这个数组的长度其实是n+1。
  用这个图测试

  以S为例子
  S到B的距离，最短路径是0，路径是SCAB这个路径.
  S索引为3，c索引为2，a索引为0，b索引为1。
  所以d[3][3][1]=2，代码如下:

def floyd_warshall(self):
    d = [[[0 if i == j else float('inf') for j in self.__vertices] for i in self.__vertices]]
    # 先初始化距离
    for e in self.__edges:
        d[0][e.from_index][e.to_index] = e.weight
    n = len(self.__vertices)

    for k in range(1, n + 1):
        d.append([[float('inf') for _ in self.__vertices] for _ in self.__vertices])
        for i in range(0, n):
            for j in range(0, n):
                d[k][i][j] = min(d[k - 1][i][j], d[k - 1][i][k - 1] + d[k - 1][k - 1][j])
    return d[n]