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计量经济学 学习笔记(长篇 未完成)

千妈小语 2022-03-12 阅读 35

文章目录


前言

2021年暑假自学的内容,现由纸质笔记整理到CSDN上。


一、基本模型

1、一元线性回归模型

回归线的定义
在这里插入图片描述
回归线的基本假定
关于模型关系的假设:模型设定正确假设、线性回归假设;
关于解释变量的假设:确定性假设、与随机项不相关假设、观测值变化假设、无完全共线性假设、样本方差假设(随着样本容量的无限增加。解释变量x的样本方差趋于一有限常数,时间序列);
关于随机项的假设:0均值假设
E ( μ i ∣ X i ) = 0 , i = 1 , 2 , ⋯   , n E\left(\mu_{i} \mid X_{i}\right)=0, i=1,2, \cdots, n E(μiXi)=0,i=1,2,,n
同方差假设
Var ⁡ ( μ i ∣ X i ) = σ 2 , i = 1 , 2 , ⋯   , n \operatorname{Var}\left(\mu_{i} \mid X_{i}\right)=\sigma^{2}, i=1,2, \cdots, n Var(μiXi)=σ2,i=1,2,,n
序列不相关假设
Cov ⁡ ( μ i , μ j ∣ X i , X j ) = 0 , i , j = 1 , 2 , ⋯   , n , i ≠ j \operatorname{Cov}\left(\mu_{i}, \mu_{j} \mid X_{i}, X_{j}\right)=0, i, j=1,2, \cdots, n, i \neq j Cov(μi,μjXi,Xj)=0,i,j=1,2,,n,i=j
随机项的正态性假设:正态性假设
μ i ∼ N ( 0 , σ 2 ) → μ i ∼ NID ⁡ ( 0 , σ 2 ) \mu_{i} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right) \rightarrow \mu_{i} \sim \operatorname{NID}\left(0, \sigma^{2}\right) μiN(0,σ2)μiNID(0,σ2)
平方和
y i ^ = Y i ^ − Y i ˉ \widehat{y_{i}}= \widehat{Y_{i}}- \bar{Y_{i}} yi =Yi Yiˉ
∑ y i 2 = ∑ y i ^ 2 + ∑ u i ^ 2 \sum y_{i}^2=\sum \widehat{y_i}^2+\sum \widehat{u_i}^2 yi2=yi 2+ui 2
u i ^ = U i ^ \widehat{u_i}=\widehat{U_i} ui =Ui
总平方和(波动程度)TSS:
∑ y i 2 \sum y_{i}^2 yi2
解释平方和ESS:
∑ y i ^ 2 \sum \widehat{y_i}^2 yi 2
残差平方和RSS( y i y_{i} yi的波动,没有被 x i x_{i} xi解释的部分):
∑ u i ^ 2 \sum \widehat{u_i}^2 ui 2

拟合优度定义及含义
可决系数 R 2 R^2 R2:被解释变量的波动程度,由解释变量解释的那一部分
R 2 = E S S / T S S = 1 − R S S / T S S R^2=ESS/TSS=1-RSS/TSS R2=ESS/TSS=1RSS/TSS
相关性r:常见的有斯皮尔曼相关性(不要求正态分布)、皮尔逊相关性(要求正态分布)

随机干扰项方差的置信区间
( n − 2 ) δ ^ 2 δ 2 \frac{(n-2) \widehat{\delta}^2}{ \delta ^2} δ2(n2)δ 2服从卡方分布,其中 δ 2 \delta^2 δ2置信区间为 ( n − 2 ) δ ^ 2 x a / 2 2 , ( n − 2 ) δ ^ 2 x 1 − a / 2 2 ] \frac{(n-2)\widehat{\delta}^2}{x_{a/2}^2},\frac{(n-2)\widehat{\delta}^2}{x_{1-a/2}^2}] xa/22(n2)δ 2,x1a/22(n2)δ 2]
假设检验略

均值预测和个体预测
个体预测: x 0 x_0 x0相对应 y y y的个别值,回归线上的值+随机误差项
均值预测:回归线上的点(用历史点预测)
对于方差:个体预测>均值预测

检验步骤:
(1)散点图(k个点)
(2)线性回归(得到方程和t统计量) R 2 、 S e 、 T R^2、Se、T R2SeT
(3)回归系数的显著性检验(设 H 0 H_0 H0 H 1 H_1 H1,显著性水平为 x x x t a 2 ( k ) t_{\frac{a}{2}}(k) t2a(k))为临界值,看t统计量是否超过该临界值,超过则拒绝原假设。

注意:y=ax+b,b是否通过显著性检验都不应该删去

2、多元线性回归模型

多元回归模型的矩阵表达形式
Y = [ y 1 y 2 ⋮ y n ] , X = [ 1 x 11 ⋯ x 1 p 1 x 21 ⋯ x 2 p ⋮ ⋮ ⋮ 1 x n 1 ⋯ x n p ] , ϵ = [ ϵ 1 ϵ 2 ⋮ ϵ n ] , β = [ β 0 β 1 ⋮ β p ] Y=\left[\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{cccc} 1 & x_{11} & \cdots & x_{1 p} \\ 1 & x_{21} & \cdots & x_{2 p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_{n 1} & \cdots & x_{n p} \end{array}\right], \epsilon=\left[\begin{array}{c} \epsilon_{1} \\ \epsilon_{2} \\ \vdots \\ \epsilon_{n} \end{array}\right], \beta=\left[\begin{array}{c} \beta_{0} \\ \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{p} \end{array}\right] Y=y1y2yn,X=111x11x21xn1x1px2pxnp,ϵ=ϵ1ϵ2ϵn,β=β0β1βp
Y = X ⋅ β + ϵ Y=X \cdot \beta+\epsilon Y=Xβ+ϵ

最小二乘法(略)
可决系数
R ˉ 2 = 1 − R S S / ( N − k − 1 ) T S S / ( N − 1 ) = 1 − N − 1 N − k − 1 ⋅ T S S − E S S T S S \bar{R}^2=1-\frac{RSS/(N-k-1)}{TSS/(N-1)}=1-\frac{N-1}{N-k-1}\cdot\frac{TSS-ESS}{TSS} Rˉ2=1TSS/(N1)RSS/(Nk1)=1Nk1N1TSSTSSESS
R ˉ 2 = 1 − N − 1 N − k − 1 ⋅ ( 1 − R 2 ) \bar{R}^2=1-\frac{N-1}{N-k-1}\cdot(1-R^2) Rˉ2=1Nk1N1(1R2)
指标
回归均方MSE:解释平方和ESS除以自由度k,这里的k为解释变量的个数
误差均方MSR:残差平方和RSS除以自由度N-k-1
由上述可得:
F = M S R M S E = E S S / k R S S / N − k − 1 ∼ F ( k , N − k − 1 ) F=\frac{MSR}{MSE}=\frac{ESS/k}{RSS/N-k-1}\sim F(k,N-k-1) F=MSEMSR=RSS/Nk1ESS/kF(k,Nk1)
预测误差: e i = Y i ^ − Y i e_{i}=\widehat{Y_{i}}-Y_{i} ei=Yi Yi
相对误差: P E = ( Y i ^ − Y i ) / Y i PE=(\widehat{Y_{i}}-Y_{i})/Y_{i} PE=(Yi Yi)/Yi
误差均方根: R M S = 1 T ∑ ( Y i ^ − Y i ) 2 RMS=\sqrt{\frac{1}{T}\sum(\widehat{Y_{i}}-Y_{i})^2} RMS=T1(Yi Yi)2
相对误差绝对值平均: M A P E = 1 T ∑ ∣ Y i ^ − Y i Y i ∣ MAPE=\frac{1}{T}\sum|\frac {\widehat{Y_{i}}-Y_{i}}{Y_{i}}| MAPE=T1YiYi Yi

3、可线性化的非线性模型

二、数据特征

1、处理异方差

2、自相关

3、多重共线性

4、虚拟变量的应用

5、F,LR,Wald,JB检验

三、面板数据类型

1、混合模型

2、固定效应模型

3、随机效应模型

四、其他


总结

提示:这里对文章进行总结:
例如:以上就是今天要讲的内容,本文仅仅简单介绍了pandas的使用,而pandas提供了大量能使我们快速便捷地处理数据的函数和方法。

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