「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对（生成函数）（容斥）（DP）

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题意：长度为 ，有 个逆序对的排列个数？

考虑新填一个数 进去，可能产生的贡献为 ，于是问题等价于：
的方案数
其实可以大力生成函数



考虑枚举后面的，需要快速知道前面的第 项
考虑其组合意义，就是选若干个不重复的数，和为 ，贡献为
这里的个数显然是 级别的，于是可以
表示 个，和为 的方案，发现就是整体加若干个 1 填一个 1 再加整体加若干个 1
有一个坑点是当 时，可能有一个数被加成 ，强制填 容斥就可以了
复杂度

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
using namespace std;
cs int M = 1000, N = 1e5 + 50;
cs int Mod = 1e9 + 7;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; }
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod; }
int dec(int a, int b){ return a - b < 0 ? a - b + Mod : a - b; }
int ksm(int a, int b){ int ans = 1; for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) ans=mul(ans,a); return ans; }
int sgn(int a){ return (a&1)?Mod-1:1; }
void Add(int &a, int b){ a = add(a, b); }
int n, m, k, f[M][N];
int fac[N<<1], ifac[N<<1];
int C(int n, int m){ if(n<0||m<0||n<m) return 0; return mul(fac[n],mul(ifac[m],ifac[n-m])); }
void prework(int n){
  fac[0] = fac[1] = ifac[0] = ifac[1] = 1;
  for(int i = 2; i <= n; i++) fac[i] = mul(fac[i-1], i);
  ifac[n] = ksm(fac[n], Mod-2);
  for(int i = n-1; i >= 2; i--) ifac[i] = mul(ifac[i+1], i+1);
}
int calc(int k){
  int ans = 0;
  for(int i = 0; i <= m; i++) Add(ans, mul(sgn(i),f[i][k]));
  return ans;
}
int main(){
  cin >> n >> k; prework(n + k + 5);
  m = sqrt(k * 2) + 5; f[0][0] = 1;
  for(int i = 1; i <= m; i++)
  for(int j = i; j <= k; j++){
    if(j >= i) f[i][j] = add(f[i][j-i], f[i-1][j-i]);
    if(j > n) f[i][j] = dec(f[i][j], f[i-1][j-n-1]);
  }
  int ans = 0;
  for(int i = 0; i <= k; i++){
    Add(ans, mul(C(i+n-1,i),calc(k-i)));
  } cout << ans; return 0;
}