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如何在Python中利用CVXOPT求解二次规划问题

问题描述:

在实际生活中,我们经常会遇到一些优化问题,简单的线性规划可以作图求解,但是对于目标函数包含二次项时,则需要另觅它法

在金融实践中,马科维茨均方差模型就有实际的二次优化需求

作为金融实践中常用的方法,本篇将对CVXOPT中求解二次规划的问题进行举例详细说明,关于该方法在均方差优化中的实践应用,参见后续发帖

1、二次规划问题的标准形式

min12xTPx+qTx

s.t.Gx≤h

Ax=b

上式中,x为所要求解的列向量,xT表示x的转置

接下来,按步骤对上式进行相关说明:

上式表明,任何二次规划问题都可以转化为上式的结构,事实上用cvxopt的第一步就是将实际的二次规划问题转换为上式的结构,写出对应的P、q、G、h、A、b

目标函数若为求max,可以通过乘以−1,将最大化问题转换为最小化问题

Gx≤b表示的是所有的不等式约束,同样,若存在诸如x≥0的限制条件,也可以通过乘以−1转换为"≤"的形式

Ax=b表示所有的等式约束

2、以一个标准的例子进行过程说明

min(x,y)12x2+3x+4y

s.t.x,y≥0

x+3y≥15

2x+5y≤100

3x+4y≤80

例子中,需要求解的是x,y,我们可以把它写成向量的形式,同时,也需要将限制条件按照上述标准形式进行调整,用矩阵形式表示,如下所示:

min(x,y)12[xy]T[1000][xy]+[34]T[xy]

[−10 0−1 \-1−3 25 34][xy]≤⎡⎣⎢⎢⎢00 \-1510080⎤⎦⎥⎥⎥

如上所示,目标函数和限制条件均转化成了二次规划的标准形式,这是第一步,也是最难的一步,接下来的事情就简单了

对比上式和标准形式,不难得出:

P=[1000],q=[34],G=[−10 0−1 \-1−3 25 34],h=⎡⎣⎢⎢⎢00 \-1510080⎤⎦⎥⎥⎥

接下来就是几行简单的代码,目的是告诉计算机上面的参数具体是什么

1

from cvxopt  import solvers, matrix

cvxopt  import solvers, matrix

2

P = matrix([[1.0,0.0],[0.0,0.0]])   # matrix里区分int和double,所以数字后面都需要加小数点

= matrix([[1.0,0.0],[0.0,0.0]])   # matrix里区分int和double,所以数字后面都需要加小数点

3

q = matrix([3.0,4.0])

= matrix([3.0,4.0])

4

G = matrix([[-1.0,0.0,-1.0,2.0,3.0],[0.0,-1.0,-3.0,5.0,4.0]])

= matrix([[-1.0,0.0,-1.0,2.0,3.0],[0.0,-1.0,-3.0,5.0,4.0]])

5

h = matrix([0.0,0.0,-15.0,100.0,80.0])

= matrix([0.0,0.0,-15.0,100.0,80.0])

6

7

sol = solvers.qp(P,q,G,h)   # 调用优化函数solvers.qp求解

= solvers.qp(P,q,G,h)   # 调用优化函数solvers.qp求解

8

print sol['x']  # 打印结果,sol里面还有很多其他属性,读者可以自行了解

sol['x']  # 打印结果,sol里面还有很多其他属性,读者可以自行了解

查看全部

    pcost       dcost       gap    pres   dres

0:  1.0780e+02 -7.6366e+02  9e+02  1e-16  4e+01

1:  9.3245e+01  9.7637e+00  8e+01  1e-16  3e+00

2:  6.7311e+01  3.2553e+01  3e+01  6e-17  1e+00

3:  2.6071e+01  1.5068e+01  1e+01  2e-16  7e-01

4:  3.7092e+01  2.3152e+01  1e+01  2e-16  4e-01

5:  2.5352e+01  1.8652e+01  7e+00  8e-17  3e-16

6:  2.0062e+01  1.9974e+01  9e-02  6e-17  3e-16

7:  2.0001e+01  2.0000e+01  9e-04  6e-17  3e-16

8:  2.0000e+01  2.0000e+01  9e-06  9e-17  2e-16

Optimal solution found.

[ 7.13e-07]

[ 5.00e+00]

看了上面的代码,是不是觉得很简单。因为难点不在代码,而是在于将实际优化问题转化为标准形式的过程

在上面的例子中,并没有出现等号,当出现等式约束时,过程一样,找到A,b,然后运行代码 sol = solvers.qp(P,q,G,h,A,b) 即可求解

扩展:上述定义各个矩阵参数用的是最直接的方式,其实也可以结合Numpy来定义上述矩阵

1

from cvxopt import solvers, matrix

cvxopt import solvers, matrix

2

import numpy as np

numpy as np

3

4

P = matrix(np.diag([1.0,0]))  #  对于一些特殊矩阵,用numpy创建会方便很多(在本例中可能感受不大)

= matrix(np.diag([1.0,0]))  #  对于一些特殊矩阵,用numpy创建会方便很多(在本例中可能感受不大)

5

q = matrix(np.array([3.0,4]))

= matrix(np.array([3.0,4]))

6

G = matrix(np.array([[-1.0,0],[0,-1],[-1,-3],[2,5],[3,4]]))

= matrix(np.array([[-1.0,0],[0,-1],[-1,-3],[2,5],[3,4]]))

7

h = matrix(np.array([0.0,0,-15,100,80]))

= matrix(np.array([0.0,0,-15,100,80]))

8

sol = solvers.qp(P,q,G,h)

= solvers.qp(P,q,G,h)




查看全部

    pcost       dcost       gap    pres   dres


0:  1.0780e+02 -7.6366e+02  9e+02  1e-16  4e+01

1:  9.3245e+01  9.7637e+00  8e+01  1e-16  3e+00

2:  6.7311e+01  3.2553e+01  3e+01  6e-17  1e+00

3:  2.6071e+01  1.5068e+01  1e+01  2e-16  7e-01

4:  3.7092e+01  2.3152e+01  1e+01  2e-16  4e-01

5:  2.5352e+01  1.8652e+01  7e+00  8e-17  3e-16

6:  2.0062e+01  1.9974e+01  9e-02  6e-17  3e-16

7:  2.0001e+01  2.0000e+01  9e-04  6e-17  3e-16

8:  2.0000e+01  2.0000e+01  9e-06  9e-17  2e-16

Optimal solution found.


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