计组_HammingCode海明码校验

文章目录

• ​​海明(汉明)(Haiming code)校验码​​

• ​​根据公式确定符合要求的海明码的位数​​
• ​​确定校验位的分布​​
• ​​分组以形成校验关系​​
• ​​求解校验位取值(根据分组后各组内的信息位来求)​​
• ​​海明码的校验​​

海明(汉明)(Haiming code)校验码

• 海明码是广泛采用的一种有效的校验码，它实际上是一种​​多重奇偶​​校验码。
• 其实现原理是在有效信息位中​​加入几个校验位形成海明码​​，并把海明码的 ​​每个二进制位分配到几个奇偶校验组中​​。
• 当某一位出错后，就会​​引起有关的几个校验位的值发生变化​​，这不但可以发现错位还能指出错位的位置，为自动纠错提供依据。
• 根据纠错理论得
  
• 即编码​​最小码距L​​越大，其检测 ​​错误的位数D​​越大，​​纠正错误的位数C​​也越大，且 ​​纠错能力恒小于等于检错能力​​。
• 海明码就是根据这一理论提出的具有纠错能力的一种编码。
  下面用一个例子来介绍求海明码的步骤。

根据公式确定符合要求的海明码的位数

设n为有效信息的位数，k为校验位的位数，则信息位n和校验位k应满足:
n+k ≤ 2k -1（若要检测两位错，则需再增加1位校验位，即k＋1位)

海明码位数为成立，则有效。

设信息位为;(1010)，共4位，

校验位为，共3位，

对应的海明码为。

这里的表示海明号(Hamming)

确定校验位的分布

• 规定校验位在​​​海明号​​​位的位置上
• 其余位是信息位
• 可以这样类比

• 海明号作为座位(椅子)的编号
• 海明码中的校验位和信息位分别类比位保安和游客(人)
• 我们需要计算出几位保安应该就位到那些海明号(上)
• 譬如,号校验码()需要防止在的位置上(两套编号系统的一个映射函数(对应关系)=)

• 安排完校验位后,其余位()用信息位插入(按原信息位的序列顺序)

分组以形成校验关系

• 每个数据位用​​多个校验位​​()进行校验，

• 但要满足条件:

• 被校验数据位的​​海明位号​​等于​​校验该数据位的各校验位​​的​​海明位号之和​​。

• 这里强调的是​​海明号之和​​;也就是海明码在海明号序列下的下标之和之间的约束关系

草稿

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• 形式化公式是我凭着理解尽量表达出来的(可能不是那么贴切)

last version formula:

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• ;
• k是所有校验位的总数目;
• 之间不一定是连续的校验位
• (例如,,与之对比的,表示的是才是第1位校验位的下标))
• 因此说,校验位下标对应的校验位,往往不是相邻的校验位.

函数和函数分别接受某个信息位,校验位的下标数字,
求出该下表对应的海明号()

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• 如果我们引入单行向量(数组),即将​​m​​视为个一维向量(包含若干个元素,会根据等式的左边,m向量中的一个元素,对应校验位)将会取得不同的数字(元素个数也能不同));从而,我们的表达式可以更加简练地写为
  

• 另外，校验位不需要再被校验。
• 分组形成的校验关系如下。(注意海明位上的各个位的对应关系)

求解校验位取值(根据分组后各组内的信息位来求)

• 校验位的值为第​​​i​​​组信息位（由该校验位校验的数据位）所有位求异或。
• 本步骤中获得完整海明码

• 所以, 信息序列1010 对应的海明码为
• (下画线为校验位, 其他为信息位)

海明码的校验

• 利用各组内的奇偶校验(也是求亦或的过程)来检查
• 将构成K个方程

• Hamming Code=101​​0​​​0​​10​​

• 若的值为 “ 000 ”, 则说明无错;
• 否则说明出错, 且这个数就是错误位的位号,

• 如, 说明第 1 位出错, 即出错, 直接将该位取反就达到了纠错的目的。