斜率优化DP

• 概述
• 用法
• • 1，单调队列选取（线性择取）
  • 2，二分择取（LOG 择取）
  • 3，CDQ 离线择取
  • 4，Splay 择取

概述

针对一类DP递推式中出现多项式交叉的多项式的DP
一定要求具有求解单调性

OI 的描述：

• 将初始状态入队
• 每次使用一条和 $i$ 相关的直线 $f_i$ 去切维护的凸包，找到最优决策，更新 $d{p}_i$
• 加入状态 $d{p}_i$。如果一个状态（即凸包上的一个点）在 $d{p}_i$加入后不再是凸包上的点，需要在$d{p}_i$加入之前剔除

思考过程
1，把原始DP方程做出来
2，把常量提出，在其余需要转移的量中选取一个 和转移位置下标有关的数组值 ，作为自变量（一般希望它在X轴方向上具有单调性）
3， 剩余的未知量（一般是前面的Dp值），作为纵坐标，建立坐标系
4，在转移的过程中，一般通过选取的横坐标的系数（斜率）不变
5，建模线性规划，考虑定斜率直线切点集凸包
6，维护凸包，线性或LOG选取进行转移

• 最终我们希望转移方程为以下形式，变量是一个一次函数：
  f i , j = j × a j − s j + m i n { y   −   k x } f_{i,j}=j×a_j−s_j+min\{y~−~kx\} fi,j​=j×aj​−sj​+min{y − kx}

• 我们要最小化或者最大化的一般是斜率，考虑适当换元使得符合这样一个一次形式

一般建模：

1，数组有序，分组选取
2，

用法

以下的手法只是维护凸包的一个手段，我们不做lim，只是提出一个引子和启发

1，单调队列选取（线性择取）

有 $n$ 个 任务 排成一个 序列，顺序不得改变，其中第 $i$ 个 任务 的 耗时 为 $t_i$， 费用系数 为 $c_i$

现需要把该 $n$ 个 任务 分成 若干批 进行加工处理

每批次的 段头，需要 额外消耗 $S$ 的时间启动机器。每一个任务的 完成时间 是所在 批次 的 结束时间。

完成一个任务的 费用 为：从 $0$ 时刻 到该任务 所在批次结束 的时间 $t$乘以 该任务 费用系数 $c$

彩铅的详细讲解

维护下凸壳的方法：

• 择取队尾和队尾之后一个元素，和要入队的元素比较，如果是这种构型，直接删去
  

细节：
1，初始队列不为空，置入一个0作为初值
2，斜率是绑定在靠左的点上求的，我们需要第一个斜率大于目标的直线的左端点，注意弹栈的限制
3，队列可以为空！

int main()
{
    cin >> n >> s;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> t[i] >> c[i];
        c[i] += c[i-1];
        t[i] += t[i-1];
    }

    int hh = 0;
    int tt = 0;
    int q[N];
    q[0] = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        while(hh < tt && f[q[hh+1]]-f[q[hh]] <= (s+t[i])*(c[q[hh+1]]-c[q[hh]]) )hh++;
        f[i] = f[q[hh]]-(s+t[i])*c[q[hh]]+s*c[n]+t[i]*c[i];
        while (hh < tt && (f[i]-f[q[tt]])*(c[q[tt]]-c[q[tt-1]]) <= (f[q[tt]]-f[q[tt-1]])*(c[i]-c[q[tt]]))tt--;
        q[++tt]=i;
    }

    cout << f[n];

}

2，二分择取（LOG 择取）

• 如果目标斜率不单调了，我们就不能单调栈直接择取了
• 但是凸包还是要维护，凸包的性质是一定的
• 二分，斜率有序的凸包中查找第一个斜率大于目标的位置并转移
• 二分的位置就是单调队列内部，注意左右边界的择取

int main()
{
    cin >> n >> s;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> t[i] >> c[i];
        c[i] += c[i-1];
        t[i] += t[i-1];
    }

    int hh = 0;
    int tt = 0;
    q[0] = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int l = hh;
        int r = tt;
        while (l<r)
        {
            int mid = l+r>>1;
            if(f[q[mid+1]]-f[q[mid]] > (s+t[i])*(c[q[mid+1]]-c[q[mid]]))r=mid;
            else l = mid+1;
        }

        f[i] = f[q[l]]-(s+t[i])*c[q[l]]+s*c[n]+t[i]*c[i];
        while (hh < tt && (s64)(f[i]-f[q[tt]])*(c[q[tt]]-c[q[tt-1]]) <= (s64)(f[q[tt]]-f[q[tt-1]])*(c[i]-c[q[tt]]))tt--;
        q[++tt]=i;
    }

    cout << f[n];

}

3，CDQ 离线择取

4，Splay 择取