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题目描述
力扣120原题 给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。
每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。
示例 1：
输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
2
3 4
6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。
示例 2：
输入：triangle = [[-10]]
输出：-10
提示：
1 <= triangle.length <= 200
triangle[0].length == 1
triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
-104 <= triangle[i][j] <= 104
进阶：
你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？
分析
这道题是一道经典的动态规划的问题,但是其具体的处理方法有很多种,但是不同的方法空间和效率略有不同.
自顶向下的思考
自顶向下也是题目给的提示和要求,题目也很简单,自顶向下的时候需要进行层层计算,每层的第一个和最后一个需要特殊处理一下.计算的结果为该层该节点最小路径,正常位置的需要找到叠加到上层的最小路径(上层前一个位置和上层同位置的).
所以在具体实现上我们使用一个dp[][]的二维数组来存储,dp[i][j]表示第i行,第j个元素的最小路径值.所以状态转移方程为:
dp[i][0]=dp[i-1][0]+arr[0];//j=0的时候
dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+arr[j];//0<j<i时候
dp[i][i]=dp[i-1][j-1]+arr[i];//j=i时候 因为上一层这个位置没有数字
计算完每个位置的最小路径之后,只需要在最底层找到最小那个路径值返回即可.
具体实现的代码为:
class Solution {
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
int len=triangle.size();
int dp[][]=new int[len][len];
dp[0][0]=triangle.get(0).get(0);
for(int i=1;i<len;i++)
{
dp[i][0]=dp[i-1][0]+triangle.get(i).get(0);//0号位置只能从上面来
for(int j=1;j<i;j++)
{
dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+triangle.get(i).get(j);
}
dp[i][i]=dp[i-1][i-1]+triangle.get(i).get(i);
}
int min=dp[len-1][0];
for(int i=0;i<len;i++)
{
// System.out.println(dp[len-1][i]);
if(min>dp[len-1][i])
min=dp[len-1][i];
}
return min;
}
}
自底向上的方法
上面是按照自顶向上的方法,这里也可以使用自底向上的方法,反正都是一条最短路径,从上从下都一样.当然在这里我们dp[]只开一维即可,从下往上叠加的时候只需要找下面和下右面中较小的那个路径即可.
而从左向右每一层的遍历刚好可以使得空间复用,每一层核心状态转移方程为:
dp[j]=triangle[i][j]+min(dp[j],dp[j+1]); //第i层的状态转移方程
具体实现的代码为:
class Solution {
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
int len=triangle.size();
int dp[]=new int [len+1];
for(int i=len-1;i>=0;i--)
{
for(int j=0;j<=i;j++)
{
dp[j]=triangle.get(i).get(j)+Math.min(dp[j],dp[j+1]);
}
}
return dp[0];
}
}
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