面试的考验

一、前言

神仙题目

二、题解

$30pts$:

考虑枚举右端点 $r$。

建立一颗答案线段树 $ATree$，线段树的 $i$ 号节点表示 $\min (a[j]-a[i])(i\le j\le r,a[j]>a[i])$。

有一个朴素做法，就是枚举所有满足要求的 $j$， 然后更新。(甚至不需要线段树，这里加上线段树是为了拓展到 $100pts$ 的做法)

时间复杂度： $\mathcal{O}(nq)/\mathcal{O}(nqlo{g}_2(n))$

$100pts$:

太辣鸡的朴素做法，怎么优化呢？

我们可以发现，有些一定没有用的 $j$ 被我们更新了，考虑怎么跳过这些 $j$。

首先朴素做法的流程我们可以写成：

1. $pos\leftarrow \max k(k<pos)$
2. $ATree[pos]\leftarrow \min (ATree[pos],a[pos]-a[i])$
3. $R\leftarrow a[pos]$
4. 返回操作 $1$

然后我们进行一个小小的优化：

1. $pos\leftarrow \max k(k<pos,a[i]\le a[k]\le R)$ ($R$最开始取$\infty$)
2. $ATree[pos]\leftarrow \min (ATree[pos],a[pos]-a[i])$
3. $R\leftarrow a[pos]$
4. 返回操作 $1$

这个表示我们不考虑 $k\le pos,a[k]\ge a[pos]$ 的点，因为 $k$ 又没有 $pos$ 优又不可能在 $pos\in [l,r]$ 的时候处于 $[l,r]$ 中。

然后我们进行一个大大的优化：

1. $pos\leftarrow \max k(k<pos,a[i]\le a[k]\le \lfloor \frac{R-a[i]}{2}\rfloor +a[i])$ ($R$最开始取$\infty$)
2. $ATree[pos]\leftarrow \min (ATree[pos],a[pos]-a[i])$
3. $R\leftarrow a[pos]$
4. 返回操作 $1$

考虑 $k,i,pos$ （纵坐标为下标对应的 $a$, 横坐标为下标）

如果 $a[k]>\lfloor \frac{R-a[i]}{2}\rfloor +a[i]$，那么我们会选择 $(k,pos)$，那么 $ATree[k]\leftarrow \min (ATree[k],a[k]-a[i])$ 就不会产生贡献。

然后我们高兴的发现，操作个数不超过 $lo{g}_{2}V$（因为每次 $[a[i],R]$ 这个区间都会至少减半）。

所以时间复杂度是 $\mathcal{O}(n(lo{g}_2\mathcal{V}{)}^2)$